减绳子

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段 (m和n都是整数，n>1并且m>1)每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]。请问k[0]k[1]…*k[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度为8时，我们把它剪成长度分别为2,3,3的三段，此时得到的最大乘积是18。

动态规划

首先定义函数f(n)为把长度为n的绳子剪成若干段后各段长度乘积的最大值。在剪第一刀时，我们有n-1种选择，也就是说第一段绳子的可能长度分别为1,2,3…..，n-1。因此f(n)=max(f(i)*f(n-i))，其中 (n>i>0) 。

这是一个自上而下的递归公式。由于递归会有大量的不必要的重复计算。一个更好的办法是按照从下而上的顺序计算，也就是说我先得到f(2),f(3)，再得到f(4),f(5)，直到得到f(n)。

当绳子的长度为2的时候，只能剪成长度为1的两段，所以f(2) = 1；当长度为3的时候，可以把绳子剪成长度分别为1和2的两段或者长度都为1的三段，由于1*2>1*1*1，因此 f(3) = 2。

int MaxProductAfterCutting_solution_DP(int length)
{
    if (length < 2)
        return 0;
    if (length == 2)
        return 1;
    if (length == 3)
        return 2;

    //数组元素代表子问题的最优解
    //数组中第i个元素表示把长度为i的绳子剪成若干段之后各段长度乘积的最大值，即f(i)
    int *products = new int[length + 1];

    products[0] = 0;
    products[1] = 1;
    products[2] = 2;
    products[3] = 3;

    int max = 0;

    //计算顺序是自下而上
    for (int i = 4; i <= length; ++i){
        //求出所有可能的f(i)*f(i-j)的最大值
        for (int j = 1; j <= i / 2; ++j){
            int product = products[j] * products[i - j];
            if(max < product)
                max = product;

            products[i] = max;
        }
    }

    max = products[length];
    delete[]products;

    return max;
}

贪心算法

当长度n>=5时，我们可以证明2*(n-2)>n 并且 3*(n-3)>n。也就是说，当绳子剩下的长度大于或者等于5的时候，我们就把它剪成长度为3或者2的绳子段。另外，当n>=5时，3*(n-3)>=2*(n-2)，因此我们应该尽可能的多剪长度为3的绳子段。
当绳子的长度为4时，把绳子剪成两段长度为2的两段。

int MaxProductAfterCutting_solution_Greedy(int length)
{
    if (length < 2)
        return 0;
    if (length == 2)
        return 1;
    if (length == 3)
        return 2;

    //尽可能多的剪去长度为3的绳子段
    int timesOf3 = length / 3;

    //当绳子最后剩下的长度为4的时候，不能再剪去长度为3的绳子段
    //此时更好的方法是把绳子剪成长度为2的两段，因为 2*2 >3*1
    if (length - timesOf3 * 3 == 1)
        timesOf3 -= 1;

    int timesOf2 = (length - timesOf3 * 3) / 2;

    return (int)(pow(3, timesOf3))*(int)(pow(2, timesOf2));
}