67.剪绳子

题目

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长的m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]。请问k[0]xk[1]x…xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

思路

• 假设绳子长度为n，可以逐个计算绳子长度为2、3、4…n-1时绳子分段的最大乘积。
• 用 $f(n)$表示长度为n的绳子最大乘积，则 $f(n)=max(f(n-1),2f(n-2),3f(n-3),\cdots (n-2)f(2),(n-1), 2(n-1),3(n-3),\cdots,(n-1))$。
• 即n减去k，求k乘以长度为n-k的绳子的最大乘积。再计算将绳子分为两部分k和n-k的乘积。两者进行比较，k逐渐增大到n-1。
• 简单说，用res记录最大乘积， $max(res,kf(n-k),k(n-k)$

代码

class Solution {
public:
    int cutRope(int number) {
        if ( number < 1 ) return 0;
        
        vector<int> dp(number+1, 0);
        dp[1] = 1;
        
        for ( int i = 2; i <= number; ++i ) {
            for ( int j = 1; j < i; ++j ) {
                dp[i] = max( max( dp[i], dp[i-j]*j ), (i-j)*j );
            }
        }
        
        return dp[number];
    }
};