楼房重建

题目大意

小A的楼房外有一大片施工工地，工地上有N栋待建的楼房。每天，这片工地上的房子拆了又建、建了又拆。他经常无聊地看着窗外发呆，数自己能够看到多少栋房子。

为了简化问题，我们考虑这些事件发生在一个二维平面上。小A在平面上(0,0)点的位置，第i栋楼房可以用一条连接(i,0)和(i,Hi)的线段表示，其中Hi为第i栋楼房的高度。如果这栋楼房上任何一个高度大于0的点与(0,0)的连线没有与之前的线段相交，那么这栋楼房就被认为是可见的。

施工队的建造总共进行了M天。初始时，所有楼房都还没有开始建造，它们的高度均为0。在第i天，建筑队将会将横坐标为Xi的房屋的高度变为Yi(高度可以比原来大—修建，也可以比原来小—拆除，甚至可以保持不变—建筑队这天什么事也没做)。请你帮小A数数每天在建筑队完工之后，他能看到多少栋楼房？

题目解答

给每个楼房表示成从原点到其的斜率,我们要求的就是从原点开始,斜率严格增大的序列长度.

用线段树维护.

维护区间 $[l,r]$ 中以 $a[l]$ 开始的递增序列的长度.

合并的时候,判断 $[l,mid]$ 的最大值与 $a[mid+1]$ 之间的关系.

如果 $max(a[l,mid]) < a[mid+1]$ ,则 $seg[o] = seg[lch] + seg[rch]$

否的话,需要在 $[mid+1,r]$ 中寻找递增序列的第一个数 $>max(a[l,mid])$ 的递增序列的长度,用 $find(rch,mid+1,r,max(a[l,mid]))$ 表示,那么合并就是
$seg[o] = seg[lch] + find(rch,mid+1,r,max(a[l,mid]))$

下面我们需要实现 $find$ 操作

边界判断,如果 $find$ 的区间长度为 $1$ ,那么直接判断范围即可.

我们需要对传给 $find(o,l,r,mx)$ 的区间 $[l,r]$ 再分一次,递归查找.

如果 $mx \le max(a[l,r])$ ,那么 $res = seg[o] - seg[o.lch] + find(o.lch,l,mid,x)$
如果 $mx > max(a[l,r])$ ,那么 $res = find(o.rch,mid+1,r,x)$
因为 $seg$ 是从下网上合并的,所以传给 $find$ 的 $seg[o]$ 是计算好了的,所以可以直接使用.

时间复杂度是 $O(nlognlogn)$

代码

#include <iostream>

const int N = 100007;
int n,m;

double T[N<<2],M[N<<2];


inline int find(int o,int l,int r,double v) {
    if(l == r) 
        return v < M[o];
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(v < M[o<<1]) 
        return find(o<<1,l,mid,v) + T[o] - T[o<<1];
    else 
        return find(o<<1|1,mid+1,r,v);
}
inline void maintain(int o,int l,int r) {
    M[o] = std::max(M[o<<1],M[o<<1|1]);
    int mid = (l + r) >> 1;
    T[o] = T[o<<1] + find(o<<1|1,mid+1,r,M[o<<1]);

}
inline void change(int o,int l,int r,int pos,double val) {
    if(l == r) {
        M[o] = val;T[o] = 1;
        return ;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(pos <= mid) change(o<<1,l,mid,pos,val);
    else change(o<<1|1,mid+1,r,pos,val);
    maintain(o,l,r);
}
inline void build(int o,int l,int r) {
    if(l == r) {
        M[o] = 0;T[o] = 1;
        return ;	
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(o<<1,l,mid);
    build(o<<1|1,mid+1,r);
}


int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin >> n >> m;
    build(1,1,n);
    while(m--) {
        int pos;double val;
        std::cin >> pos >> val;
        change(1,1,n,pos,val/pos);
        std::cout << find(1,1,n,0.) << std::endl;
    }
    return 0;
}

线段树-楼房重建-洛谷-P4198

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