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问题描述
有一张 100 元钞票，现在需要将其兑换成面额小于100的零钱，可供兑换的小面额的硬币有 1元、5元、10元、50元，为了携带方便，最终兑换出的硬币数量不超过15枚，求满足这样要求的组合有几种？
分析
- 采用循环，可以穷举出每种硬币的可能性组合，然后判断每种组合是否同时满足硬币面额之和为100，且总数量不超过15枚的条件即可。
- 这里有一个陷阱，那就是对于1元硬币和5元硬币而言，若是没有数量限制，最多可以兑换100枚1元硬币和20枚1元硬币。但是题中要求硬币数量最多15枚，因此，这两种硬币的数量最多15枚。
算法
- 共有4种面额的硬币，使用4层嵌套的循环，穷举出硬币的组合
- 只要同时满足硬币面额总和为100，且硬币数量不超过15，就记录一次
Python代码实现
count = 0
# 50元硬币最多2枚
for i in range(3):
# 10元硬币最多10枚
for j in range(11):
# 5元硬币最多15枚
for m in range(16):
# 1元硬币最多15枚
for n in range(16):
if 50*i + 10*j + 5*m + 1*n == 100 and i+j+m+n < 16:
count += 1
print(count)
# 20
递归算法求解
对于零钱兑换问题，常规思路就像上面的代码的思路一样：用零钱的各种组合来拼凑出最终的总金额。其实，用逆向思维反过来看，可以用总金额不断地去减去零钱的金额，直到恰好完全将总金额减完，此时消耗的各种零钱的不同个数，就是能够拼凑出总金额的零钱组合！
同时，考虑到程序的拓展性，应当使程序可以针对不同的金额找不同规定数量的零钱，还有当零钱种类增加或减少时，程序也能根据当前零钱种类，计算出正确的组合次数。
分析
- 对于最终符合要求的零钱组合，我们可以发现其每种零钱的个数，其实是不确定的。例如：1元硬币的个数永远不可能是1个，因为如果只有1个一元硬币，那么剩下的50元、10元、5元硬币，无论怎么组合都不可能使最后结果是100。
- 正因为每种硬币的个数是不确定的，所以我们需要穷举每种可能性，直到确定某种硬币的个数，然后剩余的硬币能够存在一种组合满足，最后恰好减完100。例如：- 例如：当我们输入的硬币组合是[1, 5, 10, 50]时，使用下面的代码时，第一层递归是对 50 的可能性数量循环（0、1、 2，三种数量可能性）；第二层递归是对 10 的可能性数量循环（0、1、2、… 、10，十一种可能性）；第三层递归是对 5 的可能性循环，虽然循环次数是 20 超过了 15 ，但最后超出范围的数字是不符合递归终止条件的，因此不会错误计算，只有 0 ~ 15 种可能；最后一层不会继续向下递归，直接判断剩余硬币金额除以 1 元硬币的数量，是否在当前剩余硬币数量范围之内。
- 所以，对于组合（0，5，10，0）而言，意味着：当第一层递归 50 的可能性为 0 的时候；当第二层递归 10 的可能性为 5 的时候；第三层递归 5 的可能性为 10 的时候；最后一层递归的当前剩余金额 target 为 0，剩余可用硬币数量 num 为 0 ，target 除以 1 为 0 表示需要 0 个 1 元硬币，0 个硬币符合当前可用剩余硬币数量为 0 的范围。所以这个组合成立，计数一次！
- 递归的过程是：只要当前硬币的组合可能性没有试验完，就继续试验下去；递归的终止条件是：剩余的硬币组合满足条件，好比：总硬币数量正好为15枚，或者硬币数量小于15枚。
算法
- 取出数组中最后一位的元素，然后将最后一位元素从原数组中删除
- 如果当前数组已经没有元素了，那么意味着这一层递归中，已经取到了最后一个元素 1 。对于由 1 组成的零钱组合，只需要用当前剩余的金额除以 1 ，就可以得到1元零钱需要多少枚，然后将结果与当前可用的零钱的数量作比较，若没有超过当前可用的零钱数量，就意味着该组合是成功的，将count加一
- 如果没有取到数组的最后一位，就需要继续向下递归，同时向下一层递归函数的传递的参数。
- 对于目标金额（target）需要减去这一层所消耗的金额；对于下一层的零钱种类数组，需要减去最后一位，由于在一开始就用了pop()函数减去了，所以这里不需要再减去一个元素，这里的陷阱是不能直接将coins对象作为参数向下传递，而是需要调用copy()方法，得到一个它的复制匿名对象作为一个参数向下传递，否则递归中的每层coins对象会互相干扰！对于零钱数量，每层都会消耗若干个，这取决于当前循环是哪个值，因此向下一层传递的剩余零钱数量，是num - i
Python代码实现
def change(target, coins, num):
global count
# 获取coins最后一个元素，同时将其从原来数组中删除
coin = coins.pop()
if not coins:
# 需要1元硬币金额的数量不能超过剩余硬币数量
if target // coin <= num:
count += 1
else:
# n = target // coin + 1 if target // coin < 16 else 16
# 上面一步表达式可有可无，因为递归终止时会判断数量是否符合规定数量
for i in range(target // coin + 1):
# 一定要调用copy函数，创建一个新的匿名对象，否则每层递归中的coins对象会互相干扰
change(target - i * coin, coins.copy(), num - i)
count = 0
change(100, [1, 5, 10, 50], 15)
print(count)
count = 0
change(200, [5, 10, 50], 10) #改变总金额、零钱种类、零钱数量，依然能够计算出结果
print(count)
# 20
# 4
当然了，找零钱问题，其实不仅可以用递归算法实现，还可以用贪婪算法实现。
想想，本题的递归算法都挺难的，所以还是下一次单独分析一下贪婪算法如何实现找零钱问题吧。