组合数——Lucas 基础学习整理【陆续更新】

声明：博主是个菜比，如果哪里写错了，请留言说明，谢谢，部分参考acdreamers大牛

定义：

$Lucas定理是用来求 C_n^m \% p，p为素数的值。$

推导

这里写图片描述

这个自行百度吧，和二项式有关，下面看下结论吧（我也不懂）

结论

已知： $C_n^m \%p$

这里写图片描述

逆元可以使用费马大定理或者扩展欧几里得都行

经典例题：

[1] HDU 3037 Saving Beans

题意：有n颗不同的树，每棵树的豆子无限多，问你有多少种方法可以保存不超过m个豆子(它们是相同的)。
分析：首先我们利用组合数中的隔板法来求出每个m的方案，然后求和即可

答案应该是 {n棵树取m个豆子} + {n棵树取m - 1} + {n棵树取m - 2} + …..+ {n棵树取0}
对于每个子问题我们利用隔板法来求解，比如第一个子问题 -> {n棵树取m个豆子}
我们把n棵树也当做豆子，然后在n + m个豆子中选出 m - 1个豆子来当做板子来分割，方案为 $C_{n+m-1}^{m-1}$
同理，我们把若干子问题这样求出，答案依次为：
$ans = C_n^0 + C_{n +1}^1+···+C_{n+m-2}^{m-2} + C_{n+m-1}^{m-1} = C_{n +m}^m$
上式是由 $C_n^m = C_{n - 1}^m +C_{n - 1} ^ {m - 1}$ 推得

然后就利用Lucas来求即可

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>

using namespace std;

#define mod(x) ((x) % p)
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5 + 10;

ll fac[maxn + 10],rfac[maxn + 10];
ll n,m,p;

ll qpow(ll a, ll b) {
    ll res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = mod(res * 1ll * a);
        a = mod(a * 1ll * a);
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

ll C(ll nn, ll mm) {
    ll up = 1, down = 1;
    for (int i = nn - mm + 1; i <= nn; i++) up = mod(up * 1ll * i);
    for (int i = 1; i <= mm; i++) down = mod(down * 1ll * i);
    return mod(up * qpow(down, p - 2));
}

ll lucas(ll nn, ll mm) {
    if (mm == 0) return 1;
    return mod(lucas(nn / p, mm / p) * 1ll * C(nn % p, mm % p));
}


int main() {
    int T; scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &p);
        printf("%lld\n", lucas(n + m, m));
    }
    return 0;
}

[2] HDU - 3944 DP?

题意：已知在杨辉三角中，给你一个位置（简称 $C_n^k$ ），问你从(0,0)到(n,k)经过的数字和最小，结果对P取模，每次可以往下走，或者往右下走。

分析 : 首先杨辉三角是左右对称的，如果所求的k > n / 2时，直接令k = n - k;即可，然后我们只考虑在一侧的情况即可，我们这样想如果k == 0时，我们一直往下走即可，假设n = 5，如果k = 1时，我们肯定优先往下走，然后到了n - 1的位置，再往右下走即可简图如下：
这里写图片描述
如果k == 2同理如下：

现在应该可以找到规律了，我们只需在当前位置往左上走，知道走到边界，然后再往上走即可
现在只需求和即可，我们利用 $C_n^m = C_{n - 1}^m +C_{n - 1} ^ {m - 1}$ ，可以得到
$ans = C_{n +1} ^k + n - k$
上式可以用数形结合来求出，这里请读者自行理解

这有个坑点，如果你用朴素的Lucas，会TLE，因为case特别多，我们需要做个预处理，题目上给了p给素数，范围只有1w，我们只需打出表即可，因为1e8的数组太大，我们需要把素数离散化一下，然后就可以了

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 1e4 + 7;

typedef long long ll;

ll f[maxn][1534];
bool isp[maxn];
ll p[maxn];
int len;
int mm[maxn];
ll P;
int idx;
#define mod(x) ((x) % P)

void init() {
    isp[0] = isp[1] = true;
    for (int i = 2; i < maxn; i++) {
        if (!isp[i]) {
            p[len++] = i;
            for (int j = i + i; j < maxn; j += i) {
                isp[j] = true;
            }
        }
    }
    for (int i = 0; i < len; i++) mm[p[i]] = i;
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        for (int j = 0; j < maxn; j++) {
            if(j == 0) f[j][i] = 1;
            else f[j][i] = (f[j - 1][i] * 1ll * j) % p[i];
        }
    }
}

ll qpow(ll a, ll b) {
    ll res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = mod(res * 1ll * a);
        a = mod(a * 1ll * a);
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

ll C(ll n, ll m) {
    if (n < m) return 0;
    return mod(mod(f[n][idx] * qpow(f[m][idx], P - 2)) * 1ll*  qpow(f[n - m][idx], P - 2));
}

ll lucas(ll n, ll m) {
    if(m == 0) return 1;
    return mod(lucas(n / P, m / P) * 1ll * C(n % P, m % P));
}

int main() {
    ll n,m;
    int cnt = 1;
    init();
    while (~scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &P)) {
        idx = mm[P];
        if (m > n / 2) m = n - m;
        printf("Case #%d: %lld\n",cnt++, mod(lucas(n + 1,m) + n - m));
    }
    return 0;
}

[3] ZOJ - 3557 How Many Sets II

题意：给你一个集合里面是{1,2,3···，n} 让你取m个元素，使得彼此不相邻，求方案数

分析：这是经典的隔板法，首先最后我们肯定是取出m个元素，剩下n - m个元素，这n-m个元素有
n - m +1 个空，然后我们在尝试这放着m个元素，这样答案就是
$ans = C_{n - m + 1} ^ m$
利用lucas计算即可

参考代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 10;
typedef long long ll;
ll p;
#define mod(x) ((x) % p)

ll qpow(ll a, ll b) {
    ll res = 1;
    while (b) {
        if(b & 1) res = mod(res * 1ll * a);
        a = mod(a * 1ll * a);
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

ll c(ll n, ll m) {
    ll up = 1, down = 1;
    for (ll i = 1; i <= m; i++) down = mod(down * 1ll * i);
    for (ll i = n - m + 1; i <= n; i++) up = mod(up *1ll * i);
    return mod(up *qpow(down, p - 2));
}

ll lucas(ll n, ll m) {
    if (m == 0) return 1;
    return mod(lucas(n / p, m / p) * c(n % p, m % p));

}

int main() {
    ll n,m;
    while (~scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &p)) {
        printf("%lld\n", lucas(n - m + 1, m));
    }
    return 0;
}

[4] HDU - 4349 Xiao Ming’s Hope

题意：问你{ $C_n^0, C_n^1,····，C_n^{n - 1},C_n^n$ } 中有多少奇数

分析：这里参考acdream的做法，甚是巧妙，
我们假设每个组合数都要对2取模，就变成了Lucas了，也是对n,m转化成了二进制后，我们发现
$C_0^0 = 1$ ··· $C_0^1 = 0$ ··· $C_1^0 = 1$ ···· $C_1^1 = 1$
我们将n转化成二进制以后，如果要是得 $C_n^m \% == 0$ ，
当n某一位上是0时，所对应的m只能为0
而当n某一位上是1时，所对应的m可以为0 也可以为1
所以我们只需统计n转化成二进制后1的个数即可

附：这里用到了__builtin，相关位运算，参考这里

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main () {
    int n;
    while (~scanf("%d", &n)) {
        printf("%d\n", 1 << (__builtin_popcount(n)));
    }
    return 0;
}