【JSOI 2016】最佳团体

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题目描述

JSOI 信息学代表队一共有 $N$ 名候选人，这些候选人从 $1$ 到 $N$ 编号。方便起见，JYY 的编号是 $0$ 号。每个候选人都由一位编号比他小的候选人 $R_i$ 推荐。如果 $R_i = 0$，则说明这个候选人是 JYY 自己看上的。
为了保证团队的和谐，JYY 需要保证，如果招募了候选人 $i$，那么候选人 $R_i$ 也一定需要在团队中。当然了，JYY 自己总是在团队里的。每一个候选人都有一个战斗值 $P_i$，也有一个招募费用 $S_i$。JYY 希望招募 $K$ 个候选人（JYY 自己不算），组成一个性价比最高的团队。也就是，这 $K$ 个被 JYY 选择的候选人的总战斗值与总招募费用的比值最大。
$1\le K\le N\le 2500$， $0\lt S_i,P_i\le 10^4$， $0\le R_i\lt i$。

算法分析

首先二分答案，则所求变为判断是否存在一种选择方案满足 $\frac{\sum p}{\sum s}\ge ans$，即是否存在 $\sum p-ans\times\sum s\ge 0$。
考虑树上背包DP，设 $f[i][j]$ 表示在以 $i$ 为根的子树种选择 $j$ 个候选人时 $\sum p-ans\times\sum s$ 的最大值，转移时从大到小枚举以保证正确更新。
时间复杂度证明之类的待填坑。

代码实现

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int maxn=2505;
const double eps=1e-10;
int head[maxn],ev[maxn],nxt[maxn],idx=0;
inline void add(int u,int v) {ev[++idx]=v;nxt[idx]=head[u];head[u]=idx;}
int K,N,s[maxn],p[maxn],tot[maxn];double f[maxn][maxn],v[maxn];
void dfs(int x) {
	memset(f[x],0xc2,sizeof(f[x]));
	tot[x]=1;f[x][0]=0;f[x][1]=v[x];
	for(register int i=head[x];i;i=nxt[i]) {
		int v=ev[i];dfs(v);tot[x]+=tot[v];
		for(register int k=std::min(K+1,tot[x]);k>=1;--k) {
			int le=std::max(k-(tot[x]-tot[v]),0),ri=std::min(k-1,tot[v]);
			for(register int j=le;j<=ri;++j) f[x][k]=std::max(f[x][k],f[x][k-j]+f[v][j]);
		}
	}
}
int main() {
	scanf("%d%d",&K,&N);
	for(register int i=1;i<=N;++i) {
		int r;scanf("%d%d%d",&s[i],&p[i],&r);
		add(r,i);
	}
	double l=0,r=10000;
	for(register int t=1;t<=30;++t) {
		double mid=(l+r)/2;
		for(register int i=1;i<=N;++i) v[i]=p[i]-mid*s[i];
		dfs(0);(f[0][K+1]>=eps)?l=mid:r=mid;
	}
	printf("%.3lf\n",l);
	return 0;
}