[BZOJ4753][Jsoi2016]最佳团体（分数规划+树形DP）

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洛谷P4322
BZOJ4753
LOJ#2071

Solution

看到最大化分式的值，考虑分数规划，二分答案 $mid$ 。
判定答案是否能够大于 $mid$ 也就是判断是否存在一个以 $0$ 为根的大小为 $K+1$ 的连通子树（假设 $P_0=S_0=0$ ）满足：
$\frac{\sum P}{\sum S}>mid$
把分母去掉并移项：
$\sum P-mid\times \sum S>0$
于是我们给每一个点一个新的权值 $val_i=P_i-mid\times S_i$ 。
问题转化成树上以 $0$ 为根的大小为 $K+1$ 的权值和最大的连通子树。
显然树形dp。
$f[u][i]$ 表示 $u$ 为根选出 $i$ 个点的最大权值和连通子树。其中 $f[u][0]$ 表示什么都不选（对于任意的 $u$ ， $f[u][0]=0$ ）
此外， $f[u][1]=val_u$ 。
这是一个树形依赖背包问题。
设当前枚举到 $u$ 的子树 $v$ ，并且 $f'[u][i]$ 表示 $u$ 的子树内（不包括 $v$ 及 $v$ 之后的子树），现在要把 $f[v]$ 合并起来，计算 $f[u][]$ 表示依次到子树 $v$ 的答案：
$f[u][i+j]=\max(f[u][i+j],f[u][i]+f[v][j])$
一次 dp 复杂度看上去是 $O(n^3)$ 的，但是第二维的上界只有 $u$ 的子树大小，相当于每对点都只在 lca 处计算贡献了一次，所以一次 dp 复杂度 $O(n^2)$ 。
总复杂度 $O(n^2\log)$ 。

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
#define Tree(u) for (int e = adj[u], v = go[e]; e; e = nxt[e], v = go[e])
using namespace std;

inline int read()
{
	int res = 0; bool bo = 0; char c;
	while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
	if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
	while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
		res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
	return bo ? ~res + 1 : res;
}

const int N = 2515;
const double eps = 1e-4;
int k, n, S[N], P[N], ecnt, nxt[N], adj[N], go[N], sze[N];
double f[N][N], val[N], x[N], y[N];

template <class T>
T Min(T a, T b) {return a < b ? a : b;}

template <class T>
T Max(T a, T b) {return a > b ? a : b;}

void add_edge(int u, int v)
{
	nxt[++ecnt] = adj[u]; adj[u] = ecnt; go[ecnt] = v;
}

void dfs(int u)
{
	int i, j;
	f[u][0] = 0; f[u][1] = val[u];
	For (i, 2, k + 1) f[u][i] = -1e20;
	sze[u] = 1;
	Tree(u)
	{
		dfs(v);
		int le = Min(k + 1, sze[u]), ri = Min(k + 1, sze[v]);
		For (i, 0, le) x[i] = f[u][i];
		For (i, 0, ri) y[i] = f[v][i];
		For (i, 1, le) For (j, 0, ri) if (i + j <= k + 1)
			f[u][i + j] = Max(f[u][i + j], x[i] + y[j]);
		sze[u] += sze[v];
	}
}

int main()
{
	int i, x;
	k = read(); n = read();
	For (i, 1, n) S[i] = read(), P[i] = read(),
		x = read(), add_edge(x, i);
	double l = 0, r = 1e4;
	while (r - l >= eps)
	{
		double mid = (l + r) / 2;
		For (i, 1, n) val[i] = 1.0 * P[i] - mid * S[i];
		if (dfs(0), f[0][k + 1] > 0) l = mid;
		else r = mid;
	}
	printf("%.3lf\n", l);
	return 0;
}