Abstract
- 本文提出的算法是在Instant Field-Aligned Meshes 这篇文章的基础提出的。
- 奇异点无法完全消除，本地优化算法经常会产生一些奇异点。
- 好的算法通常采用非本地优化算法，但是其运行速度较慢。
- 本文提出了一种有效的方法，通过将实时网络目标与线性和二次约束系统相结合来最小化奇点。 通过解决全局最小成本网络流问题和本地布尔满意度问题来实施这些约束。
- 利用本文算法生成的四边形质量与其他方法一样好，而且运行速度较快。
- 其他的外部算法产生的奇点比较慢， 本文的算法花费不到10秒钟来处理每个模型。
Introduction
- 虽然三角网格是最常用的表面模型，但四边形网格也很重要，因为它们对Catmull-Clark细分曲面，纹理，网格编辑，可视化和基于物理的模拟特别有用。
- 方向场确定四边形网格边缘的方向，位置场确定网格顶点的放置位置。理想情况下，两个场应该在表面上平滑地变化，同时遵守有助于使网格边缘锐化和对象的曲率对齐的约束。
- 如果在表面上连续定义场，则奇点是其中一个场不是局部平滑的区域。
- 这些奇点的缺陷在于随后产生的四边形网格可能具有不规则的顶点，在奇点附近会出现一个顶点其价数不是4 。
- 算法仅依靠本地网格进行计算是非常快的，但是这回产生大量的奇异点。
- 消除奇点通常涉及合并位于几何体周围的奇点对，即“非局部的”。
- Bommes等人采用四边形网格划分的全局视图，将无缝全局参数化的问题视为混合整数约束优化问题（MIP）。该方法产生了非常高质量的四边形表面网格，但速度慢，不能很好地扩展到大网格。
- Jakob等人提出使用局部平滑算子快速计算定向场和位置场。 他们的方法是可扩展的，并且产生高质量的四主导网格而没有太多的失真。但是它会在方向场与位置场处出现奇异点。
- 本文利用全局的方法移除位置场中的奇异点。
- 本文的方法解决了最低成本的网络流量问题，以及哪些有效的算法可用。
- 本文算法的速度和可靠性使设计人员能够以交互方式处理建模任务，并在不到一秒的时间内为数万个面提取四边形网格，并使物理模拟能够执行每时间步重新更新。
- 我们将无奇点位置场计算视为一个全局约束的优化问题。我们没有通过混合整数规划来解决问题。相反，我们将它分为三个阶段。
- 计算方向和位置场。 没有强制执行其他约束。
- 通过仅修改位置字段的整数变量来强制执行约束，尽可能少地更改整数
- 使用保持固定的整数变量重新优化位置字段的连续变量。
- 第二阶段是混合整数规划问题，NP难以找到最优解，我们可以将问题简化为整数线性程序（ILP）。我们将ILP近似为一个更容易的最小成本网络流（MCF）问题，可以在多项式时间内求解。
- 我们能够通过简单的贪婪边缘收缩来满足大多数这些约束。
- 本文可以在5秒内绘制出1百万个三角形网格。
Related Work
RobustQuadrangulations
- 许多方法将预先存在的三角形网格变换为全四边形网格
- Q-Morph 采用先进的前端算法。
- Blossom-Quad 使用完美匹配算法将三角形与四边形配对，并采用全局最优解。
- Velho和Zorin 识别要配对的最合格的相邻三角形。
- SQuad 改进了网格连通性的表示，可以应用于四边形。
- 上述的方法通常是不规则的，而且具有许多奇异点。
OrientationFields
- 定向场是用于引导四边形网格中的边缘方向的强大工具。
- 本文使用4种旋转对称场。目标方向来自主曲率。
- 通过基于周期函数或者混合整数表达式来优化非线性能量函数来生成平滑定向场，这些方式可能会陷入局部最小值，并且会导致出现许多奇异点。
Field-Aligned Quadrangulations
- 赖等人直接优化三角形网格，使其边缘与方向场对齐，然后通过配对三角形提取四边形网格。 这些方法是局部的，因此它们会产生许多不必要的奇点。
- 处理地图全局参数化的另一项工作是基于全局优化，它明确地限制地图失真并产生内射映射。
- Levi和Zorin实现了最小的扭曲，并且优先考虑了更高的失真。
- Chienetal利用顺序凸规划有效地求解局部内射映射。
- 全局方法旨在使用通常不是多项式时间内易处理的整数约束来共同优化参数化。
- 全局方法的输出称为整数网格映射（IGM）
Methods
InstantField-AlignedMeshes
- 本文概括了Instant Mesh论文中主要的观点：
Orientation Field
- 计算四边旋转对称（4-RoSy）方向场。 4-RoSy字段也称为交叉字段; 方向场图将M的顶点搜索到与曲面局部相切的十字。 每个十字在其切平面上旋转90°是不变的。方向场引导四边形中边缘的对齐。
- 表示v处交叉的是代表性方向向量ov, ov∈R3位于顶点v的切平面中。ov与v的法向量nv正交。
- 为了获得表征不变性，让R3（n，k）∈R3×3成为一个三维旋转矩阵，沿着轴n（它是局部法向量）逆时针方向旋转90°。
- 为了平滑方向场o， 定义o的外在平滑能量：
PositionField
- 给定方向场o ，计算一致的位置场，确定四边形网格顶点的位置。
Integer Offsets and Constraints
- 为了检测位置场中的奇点，我们总结了单帧下三角形的三个边的整数。
Regularity Constraints
Consistent Orientation Constraints
Formulation
RemovingSingularitiesfromthePositionField
将ILP问题转化为MCF问题的条件具体如下：
公式具体的演示示例
消除倒置法线
Updating the Continuous Positions
Quad Mesh Extraction
Evaluation
MeshQuality
Robustness
Efficiency
Methodology
Conclusion
- QuadriFlow解决了比其他全局方法更快地消除位置奇点的全局问题。 它没有Instant Meshes那么快，一种纯粹的局部方法，但它产生的奇点比Instant Meshes少得多。 QuadriFlow在实践中也非常强大，因为它很少产生倒置四边形或无法生成可用的网格。
- 我们的方法是全自动的，但它可以通过用户交互来增强，通过对MCF问题应用其他约束来支持。 我们认为其他经典问题可以重新定义为MCF问题，使四元组成为一种更强大的工具。