计算机视觉（五）：频率域滤波基础

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一、数学预备知识

1. 傅里叶级数

设 $f(x)$ 以 $2\pi$ 为周期，在 $[-\pi, \pi]$ 绝对可积，则由公式
$a_n = {1\over\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\ dx,\ \ \ \ n=0,1,2,...$ $b_n = {1\over\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\ dx,\ \ \ \ n=1,2,...$决定的 $a_n$、 $b_n$ 称为傅里叶系数，称由这些 $a_n$、 $b_n$ 决定的三角级数
$f(x) ～ {a_0\over 2} + \sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx + b_n\sin nx)$为 $f(x)$ 的傅里叶级数。
例1  设 $f(x)$ 以 $2\pi$ 为周期，在 $[-\pi, \pi]$ 上 $f(x) = x$，试求 $f(x)$ 的傅里叶级数。
$解：f(x)$的图像如下图所示

由 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 是奇函数，知 $f(x)\cos nx$ 在 $[-\pi, \pi]$ 也是奇函数，因而 $a_n = 0$。
$b_0 = {1\over\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin nx\ dx = {2\over \pi}\int_0^\pi x\sin nx\ dx$ $= {2\over{n\pi}}[-x\cos nx |_0^\pi + \int_0^\pi \cos nx\ dx] = {{(-1)^{n-1}2}\over n}$故傅里叶级数为
$f(x) ～ 2\sum_{n=1}^\infty{{(-1)^{n-1}\sin nx}\over n} = 2(\sin x - {{\sin 2x}\over 2} + {{\sin 3x}\over 3} - {{\sin 4x}\over 4} + \dots)$从下图可看出该函数的傅里叶级数大致图像

二、基本概念

1. 频率域

      频率域的图像处理首先把一副图像变换到频率域，在频率域中进行处理，然后通过反变换把处理结果返回到空间域。

2. 复数

      复数 $C$ 的定义如下：
$C = R + jI$式中， $R$ 和 $I$ 是实数， $j$ 是一个等于 $-1$ 的平方根的虚数，即 $j = \sqrt {-1}$。 $R$ 表示复数的实部， $I$ 表示复数的虚部。
      在极坐标下，有
$C = |C|(\cos\theta + j\sin\theta)$式中， $|C|=\sqrt {R^2+I^2}$ 是复平面的原点到点 $(R,I)$ 的向量的长度， $\theta$ 是该向量与实轴的夹角。
      从下图可以看出 $\tan\theta = {I\over R}$， $R=\cos\theta|C|$， $I=\sin\theta|C|$。

3. 欧拉公式

欧拉公式定义如下：
$e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$式中， $e=2.71828...$，可给出极坐标下复数表示：
$C=|C|e^{j\theta}$式中， $|C|$ 和 $\theta$ 的定义如上。

4. 傅里叶级数

具有周期 $T$ 的连续变量 $t$ 的周期函数 $f(t)$ 可描述为乘以恰当系数的正弦和余弦之和，这个和就是傅里叶级数：
$f(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{j{2\pi n\over T}t}$式中，
$c_n={1\over T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-j{2\pi n\over T}t}dt,\ \ \ \ \ \ n=0,\pm1,\pm2,\dots$是系数。上式可展开为正弦与余弦之和这一事实来自欧拉公式。

5. 取样

连续变量 $t$ 在 $t=0$ 处的单位冲激表示为 $\delta(t)$，其定义是：
$\delta(t)= \begin{cases} \infty, & \text {t=0} \\ 0, & \text{t$≠$0} \end{cases}$冲激串 $S_{\Delta T}(t)$ 定义为无限多个离散的周期冲激单元 $\Delta T$ 之和：
$S_{\Delta T}(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-n\Delta T)$模拟取样的一种方法是，用一个 $\Delta T$ 单位间隔的冲激串作为取样函数去乘以 $f(t)$，即
$\tilde f(t) = f(t)S_{\Delta T}(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty f(t)\delta(t-n\Delta T)\ \ \ \ \ \ \ \ (1)$式中， $\tilde f(t)$ 表示取样后的函数。这个和式的每个成分都是由该冲激位置处 $f(t)$ 的值加权后的冲激，每个取样值由加权后的冲激“强度”给出，我们可通过积分得到它，也就是说，序列中的任意取样值 $f_k$ 由下式给出：
$f_k = \int_{-\infty}^\infty f(t)\delta(t-k\Delta T)dt = f(k\Delta T)\ \ \ \ \ \ \ \ (2)$

三、傅里叶变换

1. 一维连续傅里叶变换

       $f(t)$ 的傅里叶变换可写为
$F(u) = \int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j2\pi ut}dt$相反，给定 $F(u)$，通过傅里叶反变换可以得到 $f(t)$，写为
$f(t)=\int_{-\infty}^\infty F(u)e^{j2\pi ut}du$以上两式共同称为傅里叶变换对。它们指出一个函数可以由其变换来恢复。使用欧拉公式， $F(u)$ 可写为
$F(u) = \int_{-\infty}^\infty f(t)[\cos(2\pi ut) - j\sin(2\pi ut)]dt$      可以看到，如果 $f(t)$ 是实数，那么其变换通常是复数。注意，傅里叶变换是 $f(t)$ 乘以正弦项的展开，正弦项的频率由 $u$ 的值决定。因为积分后剩下的唯一变量是频率，故我们说傅里叶变换域是频率域。

2. 一维离散傅里叶变换

      由取样后的函数的连续变换可得到离散傅里叶变换（DFT）。
      采样后函数 $\tilde f(t)$ 的变换 $\tilde F(u)$ 的表达式如下：
$\tilde F(u) = \int_{-\infty}^\infty \tilde f(t)e^{-j2\pi ut}dt$用式(1)代替 $\tilde f(t)$ 得：
$\tilde F(u) = \int_{-\infty}^\infty \sum_{n=-\infty}^\infty f(t)\delta(t-n\Delta T)e^{-j2\pi ut}dt$ $= \sum_{n=-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(t)\delta(t-n\Delta T)e^{-j2\pi ut}dt$ $= \sum_{n=-\infty}^\infty f_ne^{-j2\pi un\Delta T}\ \ \ \ \ \ \ (3)$最后一步由式(2)得出。
      虽然 $f_n$ 是离散函数，但其傅里叶变换 $\tilde F(u)$ 是周期为 $1/\Delta T$ 的无限周期连续函数。因此，我们需要表征 $\tilde F(u)$ 的一个周期，而对一个周期取样是DFT的基础。
      假设我们想要在周期 $u=0$ 到 $u=1/\Delta T$ 之间得到 $\tilde F(u)$ 的 $M$ 个等间距样本。这可通过在如下频率处取样得到：
$u = {m\over M\Delta T},\ \ \ \ m=0,1,2,...,M-1$把 $u$ 的这一结果代入式(3)，并令 $F_m$ 表示得到的结果，则有：
$F_m = \sum_{n=0}^{M-1}f_ne^{-j2\pi mn/M},\ \ \ \ m=0,1,2,...,M-1$这个表达式就是我们寻找的离散傅里叶变换。
      通过傅里叶反变换（IDFT）可以得到 ：
$f_n = {1\over M}\sum_{m=0}^{M-1}F_me^{j2\pi mn/M},\ \ \ \ n=0,1,2,...,M-1$      在前面的阐述中，我们使用 $m$ 和 $n$ 来表示离散变量，因为人们在推导中历来都是这一的。然而，特别是在二维情况下，使用 $x$ 和 $y$ 表示图像坐标变量并使用 $u$ 和 $v$ 表示频率变量更为，在这里，这些变量可以理解为整数。这样，最终得到的离散傅里叶变换对如下（ $F(u)\equiv F_m，f(x)\equiv f_n$）：
$F(u) = \sum_{x=0}^{M-1}f(x)e^{-j2\pi ux/M},\ \ \ \ u=0,1,2,...,M-1$ $f(x) = {1\over M}\sum_{u=0}^{M-1}F(u)e^{j2\pi ux/M},\ \ \ \ x=0,1,2,...,M-1$

3. 二维连续傅里叶变换

      令 $f(t, z)$ 是两个连续变量 $t$ 和 $z$ 的连续函数。则其二维连续傅里叶变换对可由下式给出：
$F(u, v) = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(t, z)e^{-j2\pi (ut+vz)}dt\ dz$ $f(t, z) = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty F(u, v)e^{j2\pi (ut+vz)}du\ dv$式中， $u$ 和 $v$ 是频率变量。当涉及图像时， $t$ 和 $z$ 解释为连续空间变量。

4. 二维离散傅里叶变换

      二维离散傅里叶变换：
$F(u, v) = \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x, y)e^{-j2\pi (ux/M+vy/N)},\ \ u=0,1,2,...,M-1,\ \ v=0,1,2,...,N-1$      使用傅里叶反变换得到 $f(x,y)$：
$f(x, y) = {1\over{MN}}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u, v)e^{j2\pi (ux/M+vy/N)},\ \ x=0,1,2,...,M-1,\ \ y=0,1,2,...,N-1$

四、卷积

1. 定义

      具有连续变量 $t$ 的两个连续函数 $f(t)$ 和 $h(t)$ 的卷积定义如下：
$f(t) ★ h(t) = \int_{-\infty}^\infty f(\tau)h(t-\tau) d\tau$      二维卷积定义如下：
$f(x, y) ★ h(x, y) = \sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m, n)h(x-m, y-n)$

2. 一维卷积定理

      空间域中两个函数的卷积的傅里叶变换，等于两个函数的傅里叶变换在频率域中的乘积；如果有两个变换的乘积，那么我们可以通过计算傅里叶反变换得到空间域的卷积。
      卷积定义可通过以下公式表示。我们将 $t$ 所在的域称为空间域，将 $u$ 所在的域称为频率域。 $F(u)$ 是 $f(t)$ 的傅里叶变换； $H(u)$ 是 $h(t)$ 的傅里叶变换，根据卷积定理有（ $\iff$表示傅里叶变换对）：
$f(t) ★ h(t) \iff F(u)H(u)$ $f(t)h(t) \iff F(u) ★ H(u)$

3. 二维卷积定理

$f(x, y) ★ h(x, y) \iff F(u, v)H(u, v)$ $f(x, y)h(x, y) \iff F(u, v) ★ H(u, v)$

五、傅里叶谱和相角

因为二维DFT通常是复函数，因此可使用极坐标形式来表示：
$F(u, v) = |F(u, v)|e^{j\phi (u, v)}$式中，幅度
$|F(u, v)| = [R^2(u, v)+F^2(u, v)]^{1\over2}$称为傅里叶谱（或频谱），而
$\phi (u, v) = arc\tan[{I(u, v)\over{R(u, v)}}]$称为相角。

六、频率域的其他特性

      变换最慢的频率成分（ $u=v=0$）与图像的平均灰度成正比。
      当我们远离变换的原点时，低频对应于图像中变换缓慢的灰度成分；当我们原点移开更远一些时，较高的频率开始对应于图像中越来越快的灰度变化。
      频率域中的滤波技术是以如下处理为基础的：修改傅里叶变换以达到特殊目的，然后计算IDFT返回到图像域。

以上全部内容参考书籍如下：
冈萨雷斯《数字图像处理（第三版）》