分治算法解决一个最坏O(N)时间的选择问题

分治算法的一个基础定理如下

定理1：若 $\sum_{i=1}^{k}a_{i}<1$ ，则方程 $T(N)=\sum_{i=1}^{k}T(a_{i}N)+O(N)$ 的解是 $T(N)=O(N)$

意思是，把原问题分解成若干子问题，若这些子问题的规模之和没有原问题大，那么再加上处理这些子问题的 $O(N)$ 时间，算法的时间界是 $O(N)$

选择问题：在N个数中抽取第k小的，有几种解法：

1.可以用优先队列得到一个 $O(klogN)$ 或者 $O(Nlogk)$ 的时间，若k是中位数那么时间就是 $O(NlogN)$

2.可以使用快速选择算法，每次处理一个不到原问题的子问题和线性附加时间，平均时间 $O(N)$ ，但是无法保证枢纽元的坏选择，因此最坏时间是 $O(N^2)$

3.先将元素排序，自然可以得到第k小的数字，时间是 $O(NlogN)$

以上几种解法中，快速选择算法在实践中应用最好，但是仍然无法达到 $O(N)$ 最坏时间，根本原因是枢纽元的选择无法保证定理1成立。一般枢纽元的选择是三数中值法，但是若3个数都是最大元，那么是坏选择；可以增加使用的数字数量，用常数时间排序，得到中位数，由于按照定理1只能有常数附加时间，因此使用的数字个数最多可以达到 $O(\frac{N}{logN})$ ，对其进行排序，花费时间 $O(N)$ ，显然不能超过这个数字，否则附加时间会超过 $O(N)$ 。然而，在最坏情况下，还是不行，因为可能选择到 $O(\frac{N}{logN})$ 个最大的元素，那么枢纽元是第 $O(N-\frac{N}{logN})$ 个元素，每次处理的子问题是 $O(N-\frac{N}{logN})$ ，这不是N的常数部分，无法应用定理1

五分化中项的中项：改进枢纽元选择如下：

1.把N个元素分成 $\left \lfloor N/5 \right \rfloor$ 组，5个元素一组，剩余不到5个的一组可以忽略

2.找出每组的中项，得到 $\left \lfloor N/5 \right \rfloor$ 个中项的表M

3.求出M的中项，将其作为枢纽元返回

定理2：使用五分化中项的中项进行枢纽元选择，快速选择算法最坏时间 $O(N)$

证明：

设 $N=10k+5$ ，可以这样假设不影响时间界的计算，如下图：

其中，每一列是5个元素的一组，中间的格子是5个元素的中项，第三行就是所有中项，所有中项的中项用Mid表示，一共2k+1组，显然有k组中，每组有3个元素比Mid大，一共3k个元素，Mid自己所在的组有2个比Mid大，一共3k+2个一定比Mid大的，比Mid小的数字数量同理，这样每次处理的子问题大小最大可以达到0.7N，就是原问题的0.7倍。

到这里得到了子问题最坏的大小，还有两项附加工作要做：

1.在每个组中，在5个元素中选择中项花费时间是常数，所有组就是 $O(N)$ 时间

2.在0.2N个中项中选择中项，若用排序，那么需要 $O(NlogN)$ 时间，显然不行，因此需要对这些数字递归调用选择算法

综上，一次递归调用，解决0.7N大小和0.2N大小的两个子问题，加上O(N)线性时间，满足定理1要求，得到一个 $O(N)$ 的最坏时间

分治算法解决一个最坏O(N)时间的选择问题

猜你喜欢