[2018.10.17 T2] 最优路线

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最优路线

【题目描述】

一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无重边无自环的无向图，点有点权，边有边权，定义一条路径的权值为路径经过的点权的最大值乘边权最大值。求任意两点间的权值最小的路径的权值。

【输入格式】

第一行两个整数 $n,m$ ，分别表示无向图的点数和边数。
第二行 $n$ 个正整数，第 $i$ 个正整数表示点 $i$ 的点权。
接下来 $m$ 行每行三个正整数 $u_i,v_i,w_i$ ，分别描述一条边的两个端点和边权。

【输出格式】

$n$ 行每行 $n$ 个整数，第 $i$ 行第 $j$ 个整数表示从 $i$ 到 $j$ 的路径的最小权值，如果从 $i$ 不能到达 $j$ ，则该值为 $-1$ 。特别地，当 $i=j$ 时输出 $0$ 。

【样例 1】

path. in

3 3
2 3 3
1 2 2
2 3 3
1 3 1

path.out

0 6 3
6 0 6
3 6 0

【样例 2】

见选手目录下 path. in/path.ans。

【数据范围与约定】

对于 $20\%$ 的数据， $n<=5,m<=8$ 。
对于 $50\%$ 的数据， $n<=50$ 。
对于 $100\%$ 的数据， $n<=500,m<=n*(n-1)/2$ ，边权和点权不超过 $10^9$ 。

题解

先考虑 $50$ 分做法， $dp[i][j][k]$ 表示 $i$ 到 $j$ ，路径上最长边长度为 $k$ 时最大点点权的最小值，类似 $\mathcal{Floyed}$ 更新一下就可以做到 $O(n^4)$ 。

事实上，我们不需要那么麻烦， $mx[i][j]$ 表示 $i$ 到 $j$ 路径上最长边的最小值，使用 $\mathcal{Floyed}$ 来更新，但是枚举中继点 $k$ 的时候我们要按点权从小到大枚举，这样 $i$ 到 $j$ 路径上点权最大的点就一定是 $i,j,k$ 中的一个，于是便可以更新答案为 $min(ans,mx[i][j]\times max(val[k],max(val[i],val[j]))$ 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=505;
struct sd{int val,id;}pt[M];
bool operator<(sd a,sd b){return a.val<b.val;}
int val[M],mx[M][M],n,m;
ll ans[M][M];
void in()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	memset(mx,127,sizeof(mx));
	for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)if(i!=j)ans[i][j]=LONG_LONG_MAX;
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&val[i]),pt[i]=(sd){val[i],i};
	for(int i=1,a,b,c;i<=m;++i)scanf("%d%d%d",&a,&b,&c),mx[a][b]=mx[b][a]=c,ans[a][b]=ans[b][a]=1ll*max(val[a],val[b])*mx[a][b];
}
void ac()
{
	sort(pt+1,pt+1+n);
	for(int k=1;k<=n;++k)for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)
	if(mx[i][j]>max(mx[i][pt[k].id],mx[pt[k].id][j]))
	mx[i][j]=max(mx[i][pt[k].id],mx[pt[k].id][j]),ans[i][j]=min(ans[i][j],1ll*mx[i][j]*max(pt[k].val,max(val[i],val[j])));
	for(int i=1;i<=n;++i,putchar(10))for(int j=1;j<=n;++j)printf("%lld ",ans[i][j]==LONG_LONG_MAX?-1:ans[i][j]);
}
int main(){in(),ac();}