最优路线

$$\mathrm{最优路线}$$

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题目

一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无重边无自环的无向图，点有点权，边有边权，定义一条路径的权值为路径经过的点权的最大值乘边权最大值。求任意两点间的权值最小的路径的权值。

输入

第一行两个整数 $n,m$ ，分别表示无向图的点数和边数。
第二行 $n$ 个正整数，第 $i$ 个正整数表示点 $i$ 的点权。
接下来 $m$ 行每行三个正整数 $u_i,v_i,w_i$ ，分别描述一条边的两个端点和边权。

输出

$n$ 行每行 $n$ 个整数，第 $i$ 行第 $j$ 个整数表示从 $i$ 到 $j$ 的路径的最小权值，如果从 $i$ 不能到达 $j$ ，则该值为 $-1$ 。特别地，当 $i=j$ 时输出 $0$ 。

样例输入

3 3 
2 3 3 
1 2 2 
2 3 3 
1 3 1 

样例输出

0 6 3 
6 0 6 
3 6 0

数据范围

对于 $20\%$ 的数据， $n\le 5,m\le 8$ 。

对于 $50\%$ 的数据， $n\le 50$ 。

对于 $100\%$ 的数据， $n\le 500,m\le n(n-1)/2$ ，边权和点权不超过 $10^9$ 。

思路

这道题是一道 Floyed 最短路。

我们可以看出边权我们可以直接 Floyed 搞，但是点权呢？
我们可以发现，如果我们把点按点权从小到大排，按这个顺序作为中转站，我们就会发现，新的路径的最大点权一定是这个点或者之前两边的求出来的点。那就通过这个来做 Floyed ，就可以得出答案了。

不过 $n^3$ 过 $500$ 需要压一下时间。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define rr register
#define ll long long

using namespace std;

struct node {
    
    
	ll x, num;
}a[501];
ll n, m, b[501], x, y, z, f[501][501], dis[501][501];

bool cmp(node x, node y) {
    
    
	return x.x < y.x;
}

ll read() {
    
    //快读
	ll an = 0, zhengfu = 1;
	char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') {
    
    
		if (c == '-') zhengfu = -zhengfu;
		c = getchar();
	}
	while (c >= '0' && c <= '9') {
    
    
		an = an * 10 + c - '0';
		c = getchar();
	}
	return an * zhengfu;
}

int main() {
    
    
	memset(f, 0x7f, sizeof(f));//初始化
	memset(dis, 0x7f, sizeof(dis));
	
	n = read();//读入
	m = read();
	for (rr ll i = 1; i <= n; i++) {
    
    
		f[i][i] = 0;//初始化
		
		b[i] = a[i].x = read();//读入
		a[i].num = i;//初始化
	}
	
	sort(a + 1, a + n + 1, cmp);//按边权排序
	
	for (rr ll i = 1; i <= m; i++) {
    
    
		x = read();//读入
		y = read();
		z = read();
		dis[x][y] = dis[y][x] = z;//求出直接距离和权值
		f[x][y] = f[y][x] = min(f[x][y], dis[x][y] * max(b[x], b[y]));
	}
	
	for (rr ll k = 1; k <= n; k++)//floyed算法
		for (rr ll i = 1; i <= n; i++)
			for (rr ll j = 1; j <= n; j++)
				if (dis[i][j] > max(dis[i][a[k].num], dis[a[k].num][j])) {
    
    
					dis[i][j] = max(dis[i][a[k].num], dis[a[k].num][j]);
					f[i][j] = min(f[i][j], dis[i][j] * (ll)max(b[i], max(b[j], b[a[k].num])));
				}
	
	for (rr ll i = 1; i <= n; i++) {
    
    
		for (rr ll j = 1; j <= n; j++)
			if (i == j) printf("0 ");//输出
				else if (f[i][j] == 0) printf("-1 ");
					else printf("%lld ", f[i][j]);
		printf("\n");
	}
	
	return 0;
}