[洛谷 P1417]烹调方案 --- 贪心 + 01背包

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传送门:洛谷 P1417

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题目描述

一共有n件食材，每件食材有三个属性， $ai$， $bi$和 $ci$，如果在t时刻完成第i样食材则得到 $ai-t*bi$的美味指数，用第i件食材做饭要花去 $ci$的时间。
众所周知，gw的厨艺不怎么样，所以他需要你设计烹调方案使得美味指数最大

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分析

由于 $ai-t*bi$这一条件的限制,看起来有些无从下手.
若是能利用某些方式摆脱 $t$的限制,那就好办了,直接01背包即可.
下面用相邻交换法证明一下如何排序使得前面处理的食物必定更优

假设当前已用时间为 $p$,有 $i$与 $j$两样食物
$i$先与 $j$的收益 $w1 = a_i - (p + c_i) \times b_i + a_j - (p + c_j + c_i) \times b_j$
$j$先与 $i$的收益 $w2 = a_j - (p + c_j) \times b_j + a_i - (p + c_j + c_i) \times b_i$
两式相减,得: $ w1 - w2 = b_i \times c_j - b_j \times c_i $
对此,若令 $i$在前更优,则 $w1 - w2 > 0$, 即 $ b_i \times c_j > b_j \times c_i $

因此,按照$ b_i \times c_j > b_j \times c_i $排个序后,直接01背包即可 注意数据范围,要开$long$ $long$

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代码

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>

#define IL inline

using namespace std;

IL int read()
{
    char c = getchar();
    int sum = 0 ,k = 1;
    for(;'0' > c || c > '9'; c = getchar())
        if(c == '-') k = -1;
    for(;'0' <= c && c <= '9'; c = getchar()) sum = sum * 10 + c - '0';
    return sum * k;
}

typedef long long ll;

struct node
{
    ll x, y, z;
}num[55];

IL bool cmp(const node &a, const node &b)
{
    return a.y * b.z > a.z * b.y;
}

IL ll max_(ll x, ll y) { return x > y ? x : y; }

ll f[100005];

int main()
{
    int m = read(), n = read();
    for(int i = 1; i <= n; ++i) num[i].x = read();
    for(int i = 1; i <= n; ++i) num[i].y = read();
    for(int i = 1; i <= n; ++i) num[i].z = read();
    sort(num + 1, num + n + 1, cmp);
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {	
    	for(int j = m; j >= num[i].z; --j)
    		f[j] = max_(f[j], f[j - num[i].z] + num[i].x - num[i].y * j);
    }
    
    ll ans = 0;
    for(int i = 0; i <= m; ++i)
    	ans = max_(ans, f[i]);
    
    printf("%lld\n", ans);
    
    return 0;
}