关于树状数组的个人理解

本篇只对树状数组的理论部分进行讲解，其应用在之后的博客中再进行专题讲解
以下内容部分转载于：
彻底理解树状数组
树状数组彻底入门

• 树状数组（Binary Indexed Tree）——二进制索引树
• 树状数组问题模型
  首先我们搞明白树状数组是用来干嘛的，现在有一个这样的问题：有一个数组a，下标从0到n-1，现在给你w次修改，q次查询，修改的话是修改数组中某一个元素的值；查询的话是查询数组中任意一个区间的和，w + q < 500000。

这个问题很常见，首先分析下朴素做法的时间复杂度，修改是O(1)的时间复杂度，而查询的话是O(n)的复杂度，总体时间复杂度为O(qn)；可能你会想到前缀和来优化这个查询，我们也来分析下，查询的话是O(1)的复杂度，而修改的时候修改一个点，那么在之后的所有前缀和都要更新，所以修改的时间复杂度是O(n)，总体时间复杂度还是O(qn)。

可以发现，两种做法中，要么查询是O(1)，修改是O(n）；要么修改是O(1)，查询是O(n)。那么就有没有一种做法可以综合一下这两种朴素做法，然后整体时间复杂度可以降一个数量级呢？有的，对，就是树状数组，以空间换时间。

• 一维树状数组

• 前缀和问题的解法：二进制分解
  当查询区间[1,15]时，其示意图如下图所示：
  

操作时，我们依此跳过上面的2的3次方、2次方、1次方、0次方 这4段，跳出的距离分别是8,4,2,1
也就是说15=2"3+2"2+2"1+2"0，这就是15的二进制分解，在二进制中表达为(1111)2。

那么，怎样处理这种跳跃关系？

• 从后向前跳跃——lowbit技术
  考虑一个数129，它的二进制表示为(10000001)2，129=2"8+2"0，但是还是要枚举1…7的部分，然而因为系数是0，所以它们对答案并没有贡献（类似于计算0×2"7），在if(x&1)就会被pass掉。
  这里介绍一种常数优化：lowbit(x)，它可以O(1)的直接调到我们需要的位置，在最坏的情况下，这样做的总复杂度依然是logn的。

int lowbit(int x)
{//返回二进制数最低位的1对应的数值
	return x & (-x);      //与运算
}

• 用这种二进制跳跃关系处理原数组A【】，树状数组C【】，前缀和数组S【】之间的关系

最左侧为对应二进制，树状数组C【】存在的目的是存储从后向前的最近一次跳跃，可用lowbit技术进行计算，跳跃的元素个数为lowbit，
作用范围为:
C[i]=A[i-2"k+1]+A[i-2"k+2]+…A[i];

C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+…A[i];
求前缀和的时候便可用树状数组C【】来处理二进制分解对应的跳跃：
如上图的S【7】=C【7】+C【6】+C【4】（每次减一个lowbit）

int sum_pre(int val[],int i)
{//求arry数组的前i项和
 //val为树状数组地址
	int sum = 0;
	for (;i > 0;i -= lowbit(i))       //从后向前每次跳一个lowbit
		sum += val[i];
	return sum;
}

int sum_between(int val[],int pre, int last)
{//求原数组arry在区间[pre-last]的和
	return sum_pre(val, last) - sum_pre(val, pre - 1);
}

• 对更新问题的处理
  当A【i】的值改变时，如何对对应的树状数组进行更新
  其实从第一张图我们可以看出需要对C【i】的父结点进行更新，那么如何获取这个值呢？
  更新和查询其实可以近似看成是“逆过程”，这个只是理解，如何实际操作这个问题呢？
  i=i+lowbit(i)
  为什么是加上lowbit（i）呢？
  不失一般性，我们不妨假设分析：
  设i=i+range
  1.range>lowbit(i):
  因为每个C【i】对应一个跳跃范围（作用范围）,此时i=i+range后，这个lowbit（i）仍为之前的lowbit（i）（因为最低位1的位置没有变化），所以，range>作用范围，之前的A【i】不在范围内，所以此情况不成立；
  2.range<lowbit(i):
  此时i=i+range后，对应的lowbit（i）变小，此时C【i】的作用范围变小，范围为lowbit（range），
  当lowbit（range）<range时：按照第一种情况得出的结论，不成立；
  当lowbit（range）=range时：此时作用范围为C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+…A[i]，恰好未包含之前的A【i】，所以，不成立。
  综上所述，i=i+lowbit(i);

void update(int val[], int i, int cal,int arry_num)
{//原数组第i个元素加上cal，更新树状数组相关元素,arry_num为原数组的长度
 //可直接用于树状数组的建立
	for(;i<=arry_num;i+=lowbit(i))
		val[i]+=cal;
}

对于更新函数update用于初始化树状数组val的用法如下：

memset(val,0,sizeof(val));    //先将val数组初始化为0
for(int i=1;i<=arry_num;i++)
update(val,i,arry[i],arry_num);

以上便是我对一维树状数组的理解。

• 二维树状数组
  一维树状数组是用于子区间求和，那么二维树状数组便是用于子矩阵求和

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• 相关函数操作
  二维树状数组的基本原理仍为lowbit技术
  我们先来介绍一下子矩阵求和

• 子矩阵求和
  只是比一维树状数组多了一个for循环，因为A【i】【j】的子矩阵之和=∑∑A【i】【j】，需要两次for循环解决

int sum_pre_2(int val[][MAXSIZE], int x, int y)
{//求解A[x][y]左上方的子矩阵A[1--x][1--y]
	int sum = 0;
	for (int i = x;i > 0;i -= lowbit(i))
		for (int j = y;j > 0;j -= lowbit(j))
			sum += val[i][j];
	return sum;
}

• 更新
  更新操作其实是求个操作的逆过程，但本质上都是找与A【i】【j】相关的C【i】【j】，只不过求和是向下找，更新是向上找

void update_2(int val[][MAXSIZE], int x, int y, int cal, int arry_num_x,int arry_num_y)
{//当原数组A[x][y]+cal时，更新树状数组val，arry_num为行和列的最大长度
	for (int i = x;i <= arry_num_x;i += lowbit(i))
		for (int j = y;j <= arry_num_y;j += lowbit(j))
			val[i][j] += cal;
}

• 更高维的树状数组
  树状数组的优点之一便是很容易扩展到高维
  对于更高维的树状数组只需在原有操作函数的基础上增加for循环次数即可