## 机器学习中常见的损失函数 一般来说，我们在进行机器学习任务时，使用的每一个算法都有一个目标函数，算法便是对这个目标函数进行优化，特别是在分类或者回归任务中，便是使用损失函数（Loss Function）作为其目标函数，又称为代价函数(Cost Function)。 损失函数是用来评价模型的预测值
Y^=f(X)Y^=f(X)与真实值YY的不一致程度，它是一个非负实值函数。通常使用L(Y,f(x))L(Y,f(x))来表示，损失函数越小，模型的性能就越好。 设总有NN个样本的样本集为(X,Y)=(xi,yi)(X,Y)=(xi,yi)，yi,i∈[1,N]yi,i∈[1,N]为样本ii的真实值，yi^=f(xi),i∈[1,N]yi^=f(xi),i∈[1,N]为样本ii的预测值，ff为分类或者回归函数。 那么总的损失函数为：
其中λλ是正则项超参数，常用的正则方法包括：L1正则与L2正则，详细介绍参见：防止过拟合的一些方法。
L=∑i=1Nℓ(yi,yi^)L=∑i=1Nℓ(yi,yi^)
常见的损失函数ℓ(yi,yi^)ℓ(yi,yi^)有以下几种： ### Zero-one Loss Zero-one Loss即0-1损失，它是一种较为简单的损失函数，如果预测值与目标值不相等，那么为1，否则为0，即：
ℓ(yi,yi^)={1,0,yi≠yi^yi=yi^ℓ(yi,yi^)={1,yi≠yi^0,yi=yi^
可以看出上述的定义太过严格，如果真实值为1，预测值为0.999，那么预测应该正确，但是上述定义显然是判定为预测错误，那么可以进行改进为Perceptron Loss。 ### Perceptron Loss Perceptron Loss即为感知损失。即：
ℓ(yi,yi^)={1,0,|yi−yi^|>t|yi−yi^|≤tℓ(yi,yi^)={1,|yi−yi^|>t0,|yi−yi^|≤t
其中tt是一个超参数阈值，如在PLA([Perceptron Learning Algorithm,感知机算法](http://kubicode.me/2015/08/06/Machine%20Learning/Perceptron-Learning-Algorithm/))中取t=0.5t=0.5。 ### Hinge Loss Hinge损失可以用来解决间隔最大化问题，如在SVM中解决几何间隔最大化问题，其定义如下：
ℓ(yi,yi^)=max{0,1−yi⋅yi^}ℓ(yi,yi^)=max{0,1−yi⋅yi^}
yi∈{−1,+1}yi∈{−1,+1}
更多请参见：[Hinge-loss](https://en.wikipedia.org/wiki/Hinge_loss)。 ### Log Loss 在使用似然函数最大化时，其形式是进行连乘，但是为了便于处理，一般会套上log，这样便可以将连乘转化为求和，由于log函数是单调递增函数，因此不会改变优化结果。因此log类型的损失函数也是一种常见的损失函数，如在LR([Logistic Regression, 逻辑回归](chrome-extension://ikhdkkncnoglghljlkmcimlnlhkeamad/pdf-viewer/web/viewer.html?file=https%3A%2F%2Fpeople.eecs.berkeley.edu%2F~russell%2Fclasses%2Fcs194%2Ff11%2Flectures%2FCS194%2520Fall%25202011%2520Lecture%252006.pdf))中使用交叉熵(Cross Entropy)作为其损失函数。即：
ℓ(yi,yi^)=yi⋅logyi^+(1−yi)⋅log(1−yi^)ℓ(yi,yi^)=yi⋅logyi^+(1−yi)⋅log(1−yi^)
yi∈{0,1}yi∈{0,1}
规定
0⋅log⋅=00⋅log⋅=0
### Square Loss Square Loss即平方误差，常用于回归中。即：
ℓ(yi,yi^)=(yi−yi^)2ℓ(yi,yi^)=(yi−yi^)2
yi,yi^∈Ryi,yi^∈ℜ
### Absolute Loss Absolute Loss即绝对值误差，常用于回归中。即：
ℓ(yi,yi^)=|yi−yi^|ℓ(yi,yi^)=|yi−yi^|
yi,yi^∈Ryi,yi^∈ℜ
### Exponential Loss Exponential Loss为指数误差，常用于boosting算法中，如[AdaBoost](https://en.wikipedia.org/wiki/AdaBoost)。即：
ℓ(yi,yi^)=exp(−yi⋅yi^)ℓ(yi,yi^)=exp(−yi⋅yi^)
yi∈{−1,1}yi∈{−1,1}
正则
一般来说，对分类或者回归模型进行评估时，需要使得模型在训练数据上使得损失函数值最小，即使得经验风险函数最小化，但是如果只考虑经验风险(Empirical risk)，容易过拟合(详细参见防止过拟合的一些方法)，因此还需要考虑模型的泛化能力，一般常用的方法便是在目标函数中加上正则项，由损失项(Loss term)加上正则项(Regularization term)构成结构风险(Structural risk)，那么损失函数变为：
L=∑i=1Nℓ(yi,yi^)+λ⋅R(ω)L=∑i=1Nℓ(yi,yi^)+λ⋅R(ω)
其中λλ是正则项超参数，常用的正则方法包括：L1正则与L2正则，详细介绍参见：防止过拟合的一些方法。
各损失函数图形如下：
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