DSP笔记

连续信号的与系统的频域分析

傅里叶级数

 傅里叶级数用来描述周期性信号，通过从连续性周期信号中，提取其中每一周期的信号作傅里叶变换后作拉伸变换后即可得到傅里叶级数。

三角函数的傅里叶级数：

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &f(t)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kcosk\Omega_0t+\sum_{k=1}^{\infty}b_ksink\Omega_0t\\ &ak=\frac{2}{T}\int_{t1}^{t1+T}f(t)cosk\Omega_0dt\\ &bk=\frac{2}{T}\int_{t1}^{t1+T}f(t)sink\Omega_0dt\\ \end{aligned} \right. \end{equation}$$

指数函数傅里叶级数：
$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}F(k\Omega_0)e^{jk\Omega_0t}\\ &F(k\Omega_0)=\frac{1}{T}\int_{t1}^{t1+T}f(t)e^{-jk\Omega_0t}dt\\ \end{aligned} \right. \end{equation}$$
 可以通过欧拉公式建立指数函数傅里叶级数和三角函数傅里叶级数之间的关系。

傅里叶级数的性质

1.线性特性

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &f_1(t)\longleftrightarrow F_1(k\Omega_0)\\ &f_2(t)\longleftrightarrow F_2(k\Omega_0)\\ &af_1(t)+bf_2(t)\longleftrightarrow F_1(k\Omega_0)+F_2(k\Omega_0)\\ \end{aligned} \right. \end{equation}$$

2.对称性

(1)偶对称
若f(t)是偶函数

$$F(-k\Omega_0)=F(k\Omega_0)$$
(2)奇对称
若f(t)是奇函数
$$F(-k\Omega_0)=-F(k\Omega_0)$$

3.时移性质

$$f(t-t_0)\longleftrightarrow F(k\Omega_0)e^{-jk\Omega t_0}$$

4.时间尺度变换

$$f(at)\longleftrightarrow F(k\Omega_1)$$
 其中 $\Omega_1$ 等于 $a\Omega_0$

5.时域微分性质

$$f^{(N)}\longleftrightarrow (jk\Omega_0)^NF(k\Omega_0)=F_{(N)}(k\Omega_0)$$

傅里叶变换

 从傅里叶级数到傅里叶变换，傅里叶级数用于描述周期性信号，而傅里叶变换用于描述有限长信号，我们可以从周期信号中提取单一周期，将这单一周期信号看成T无限大的信号，然后就可以用傅里叶变换来描述这一单一周期信号，通过时域平移的特性，我们可以简单的得到其他周期的傅里叶变换，通过把这无限个傅里叶变换相加，即可用傅里叶变换描述周期信号。

整个周期性信号的傅里叶级数和单一周期的傅里叶变换存在着线性对应关系：

$$\frac{F_T(k\Omega_0)}{1/T}\triangleq F(j\Omega)$$
对于非周期信号则常用积分式直接计算或者通过常用变换对计算。
$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &F(j\Omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-jk\Omega t}dt\\ \\ &f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\Omega)e^{jk\Omega t}d\Omega\\ \end{aligned} \right. \end{equation}$$
常用信号的傅里叶变换
$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &e^{-at}u(t)(a>0)\longleftrightarrow \frac{1}{a+j\Omega}\\ \\ &e^{at}u(-t)(a<0)\longleftrightarrow \frac{1}{a-j\Omega}\\ \\ &sgn(t)\longleftrightarrow \frac{2}{j\Omega},sgn(t)=1(t>0),sgn(t)=-1(t<0)\\ \\ &P_\tau(t)\longleftrightarrow \tau Sa(\frac{\Omega\tau}{2})\\ \\ &\delta(t)\longleftrightarrow 1\\ \\ &e^{j\Omega_0t}\longleftrightarrow 2\pi\delta(\Omega-\Omega_0)\\ \\ &cos\Omega_0t\longleftrightarrow \pi[\delta(\Omega+\Omega_0)+\delta(\Omega-\Omega_0)\\ \\ &sin\Omega_0t\longleftrightarrow j\pi[\delta(\Omega+\Omega_0)-\delta(\Omega-\Omega_0)]\\ \\ &u(t)\longleftrightarrow \pi\delta(\Omega)+\frac1{j\Omega}\\ \end{aligned} \right. \end{equation}$$

傅里叶变换的性质

1.线性特性

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &f_1(t)\longleftrightarrow F_1(j\Omega)\\ &f_2(t)\longleftrightarrow F_2(j\Omega))\\ &af_1(t)+bf_2(t)\longleftrightarrow F_1(j\Omega))+F_2(j\Omega))\\ \end{aligned} \right. \end{equation}$$

2.时移性质

$$f(t-t_0)\longleftrightarrow F(j\Omega))e^{-jk\Omega t_0}$$

3.时间尺度变换

$$f(at)\longleftrightarrow \frac1{|a|}F(j\frac{\Omega}a)$$

4.对偶性

若

$$f(t)\longleftrightarrow F(j\Omega)$$
则 $$F(jt)\longleftrightarrow 2\pi f(-\Omega)$$

5.频移特性

$$f(t)e^{j\Omega_0t}\longleftrightarrow F(j(\Omega-\Omega_0)$$

6.卷积定理

$$f_1(t)*f_2(t)\longleftrightarrow F_1(j\Omega)F_2(j\Omega)$$
$$f_1(t)f_2(t)\longleftrightarrow \frac1{2\pi}F_1(j\Omega)*F_2(j\Omega)$$

7.时域微分、积分特性

$$\frac{d^N}{dt^N}f(t)\longleftrightarrow (j\Omega)^NF(j\Omega)$$
$$\int_{-\infty}^tf(\tau)d\tau\longleftrightarrow \frac{F(j\Omega)}{j\Omega}+\pi F(j0)\delta(\Omega)$$

8.频域微分特性

$$(-jt)^Nf(t)\longleftrightarrow \frac{d^N}{d\Omega^N}F(j\Omega)$$

连续信号与系统的复频域分析

拉普拉斯变换

定义式：

$$F(s)=G(j\Omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$
反变换： $$g(t)=f(t)e^{\sigma t}=\frac1{2\pi j}\int_{-\infty}^{\infty}F(s)e^{j\Omega t}ds$$

双边拉普拉斯变换

 对于信号f(t)来说，某些 $\sigma$ 的取值使得LT不存在，因此定义LT时，还应该同时给出LT成立的 $\sigma$ 范围，称为LT的收敛区（ROC）。

正拉氏变换：

$$F(s)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}dt~~\sigma:(\alpha,\beta)$$
反拉氏变换： $$f(t)=\frac1{2\pi j}\int_{\sigma-\infty}^{\sigma+\infty}F(s)e^{st}ds~~\sigma:(\alpha,\beta)$$

拉普拉斯变换的性质及计算

1.线性性

$$a_1f_1(t)+a_2f_2(t)\leftrightarrow a_1F_1(s)+a_2F_2(s)~~\sigma:((\alpha_1,\alpha_2)_{max},(\beta_1,\beta_2)_{min})$$

2.时移特性

$$f(t-t_0)\leftrightarrow F(s)e^{-st_0}~\sigma:(\alpha,\beta)$$

3.复频移动特性

$$f(t)e^{s_0t}\leftrightarrow F(s-s_0)~~\sigma:(\alpha+Re[s_0],\beta+R[s_0])$$

4.尺度变换特性

$$f(at)\leftrightarrow \frac1{|a|}F(\frac sa)~~ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &\sigma:(a\alpha,a\beta)(a>0)\\ &\sigma:(a\beta,a\alpha)(a<0)\\ \end{aligned} \right. \end{equation}$$

5.时域微分性质

$$f^{(k)}(t)\leftrightarrow s^kF(s)~~\sigma:(\alpha,\beta)$$

常用因果函数拉式变化表

f(t) t≥0	F(s)	收敛区
$\delta(t)$	1	$\sigma:(-\infty,\infty)$
$u(t)$	$\frac1s$	$\sigma:(0,\infty)$
$e^{-at}u(t)$	$\frac{1}{s+a}$	$\sigma:(-a,\infty)$
$cos\beta tu(t)$	$\frac{s}{s^2+\beta^2}$	$\sigma:(0,\infty)$
$sin\beta tu(t)$	$\frac{\beta}{s^2+\beta^2}$	$\sigma:(0,\infty)$
$t^nu(t)~~(n为正整数)$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$	$\sigma:(0,\infty)$
$t^ne^{-at}u(t)~~(n为正整数)$	$\frac{n!}{(s+\alpha)^{n+1}}$	$\sigma:(-a,\infty)$
$e^{-at}cos\beta tu(t)$	$\frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2+\beta^2}$	$\sigma:(-a,\infty)$
$e^{-at}sin\beta tu(t)$	$\frac{\beta}{(s+\alpha)^2+\beta^2}$	$\sigma:(-a,\infty)$
$tcos\beta tu(t)$	$\frac{s^2-\beta^2}{(s^2+\beta^2)^2}$	$\sigma:(0,\infty)$
$tsin\beta tu(t)$	$\frac{2\beta s}{(s^2+\beta^2)^2}$	$\sigma:(0,\infty)$
$shatu(t)$	$\frac{a}{s^2-\beta^2}$	$\sigma:(+a,\infty)$
$chatu(t)$	$\frac{s}{s^2-\beta^2}$	$\sigma:(+a,\infty)$