[Luogu P4587] [BZOJ 4408] [FJOI2016]神秘数

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题目描述

一个可重复数字集合 $S$ 的神秘数定义为最小的不能被 $S$ 的子集的和表示的正整数。例如 $S=\{1,1,1,4,13\}$ ，

$1 = 1$

$2 = 1+1$

$3 = 1+1+1$

$4 = 4$

$5 = 4+1$

$6 = 4+1+1$

$7 = 4+1+1+1$

$8$ 无法表示为集合 $S$ 的子集的和，故集合 $S$ 的神秘数为 $8$ 。

现给定 $n$ 个正整数 $a[1]...a[n]$ ， $m$ 个询问，每次询问给定一个区间 $[l,r]$ ，求由 $a[l],a[l+1],…,a[r]$ 所构成的可重复数字集合的神秘数。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数 $n$ ，表示数字个数。

第二行 $n$ 个整数，从 $1$ 编号。

第三行一个整数 $m$ ，表示询问个数。

以下 $m$ 行，每行一对整数 $l,r$ ，表示一个询问。

输出格式：

对于每个询问，输出一行对应的答案。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

说明

对于100%的数据点，$n,m \le 100000 $0，$ ∑a[i] \le 10^9$

解题分析

这道题的思路来自于一个很显然的结论：从 $1$ 开始递推，如果 $ans\le \sum_{i=1}^{ans}num[i]\times i$ 的数凑出来，那么 $\sum_{i=1}^{ans}num[i]\times i$ 也能凑出来。这样搞我们用主席树维护，每次 $ans$ 至少增大一倍，总复杂度就是 $O(Nlog^2(N))$ 的。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define MX 100050
template <class T>
IN void in(T &x)
{
	x = 0; R char c = gc;
	for (; !isdigit(c); c = gc);
	for (;  isdigit(c); c = gc)
	x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
}
int dot, q, cnt, dif;
struct Node {int sum, son[2];} tree[MX * 40];
int root[MX], buf[MX], dat[MX];
namespace SGT
{
	#define ls tree[now].son[0]
	#define rs tree[now].son[1]
	#define pls tree[pre].son[0]
	#define prs tree[pre].son[1]
	void insert(R int pre, int &now, R int lef, R int rig, R int tar, R int val)
	{
		now = ++cnt; tree[now] = tree[pre]; tree[now].sum += val;
		if(lef == rig) return;
		int mid = lef + rig >> 1;
		if(tar <= mid) insert(pls, ls, lef, mid, tar, val);
		else insert(prs, rs, mid + 1, rig, tar, val);
	}
	int query(R int pre, R int now, R int lef, R int rig, R int bd)
	{
		if(rig <= bd) return tree[now].sum - tree[pre].sum;
		int mid = lef + rig >> 1;
		int ret = query(pls, ls, lef, mid, bd);
		if(bd > mid) ret += query(prs, rs, mid + 1, rig, bd);
		return ret;
	}
}
IN int getid(R int now) {int k = std::lower_bound(buf + 1, buf + 1 + dif, now) - buf; if(buf[k] > now) k--; return k;}
int main(void)
{
	int a, b, ans, pos, sum;
	in(dot);
	for (R int i = 1; i <= dot; ++i) in(dat[i]), buf[i] = dat[i];
	std::sort(buf + 1, buf + 1 + dot); dif = std::unique(buf + 1, buf + 1 + dot) - buf - 1;
	for (R int i = 1; i <= dot; ++i) SGT::insert(root[i - 1], root[i], 1, dif, getid(dat[i]), dat[i]);
	in(q);
	W(q--)
	{
		in(a), in(b);
		ans = 1;
		W(233)
		{
			sum = SGT::query(root[a - 1], root[b], 1, dif, getid(ans));
			if(sum >= ans) ans = sum + 1;
			else break;
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
}