排列

从n个不同元素中,取 $r(1<=r<=n)$ 个,按一定顺序排列,则排列数记为 $A(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$
证明:略

圆排列

(即通过转动,可变为同一个排列的排列称为同一个圆排列)
n个人围成一圈的方案数记作 $Q(n,n)$ ,因为圆排列从任意一个位置断开为一个线排列,可得 $Q(n,n)*n=A(n,n)$
推出 $Q(n,n)=\frac{A(n,n)}{n}=(n-1)!$
由此可得部分圆排列,(从n个人中选r个围成一圈)
$Q(n,r)=\frac{A(n,r)}{r}=\frac{n!}{r(n-r)!}$

重复排列

有限个数

假设有k种n个球,每种球的个数为 $a_1,a_2,\dots,a_k$ ,则这n个球的全排列为 $\frac{n!}{a_1 ! \cdot a_2 ! \dots a_k !}$

证明:记集合 $A=\{ a_1*b_1,a_2*b_2,\dots,a_k*b_k \}$ ,
记集合 $B=\{ b_1^1,b_1^2,\dots,b_1^{a_1},b_2^1,b_2^2,\dots,b_2^{a_2},\dots \}$
则集合B的全排列为 $n!$ ,又因为对于每一个A集合的排列,都可以产生 $a_1 ! \cdot a_2 ! \cdot \dots \cdot a_k !$ 个B集合中的排列,所以可得A集合的全排列等于 $\frac{n!}{a_1 ! \cdot a_2 ! \dots a_k !}$

无限个数

因为每一次都有k种选择,一共要选n个球,那么方案数为 $n^k$

项链排列

项链排列,在圆排列的基础上多一个翻转.(即经过转动,翻转,变为同一个排列的排列称为同一个项链排列)
从n个元素中选r个,项链排列的个数为 $\frac{A(n,r)}{2*r}$

严谨证明参照Pólya定理
本文感性认知,圆排列的个数为 $\frac{n!}{r(n-r)!}$ ,因为项链排列只是在圆排列的基础上多了一个翻转操作,那么每一个项链排列都会产生2个圆排列,所以要多除以2.

错排问题

如 $\{a_1,a_2,\dots,a_n \}$ 为 $\{ 1,2,\dots,n \}$ 的一排列,若所有的i中,皆有 $a_i\not=i$ ,则称这种排列为错排,记为 $D_n$

通项: $D_n=n!(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\dots+\frac{(-1)^n}{n!})$
证明:利用容斥原理,n个数的全排列为 $n!$
减去有一个数位置不动的排列为 $C_1^n \cdot (n-1)!$
加上有两个数位置不动的排列为 $C_2^n \cdot (n-2)!$
….
所以 $D_n=n!-C_1^n \cdot (n-1)!+C_2^n \cdot (n-2)!-\dots+(-1)^n \cdot C_n^n \cdot (n-n)!$
$=n!-\frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}-\dots+(-1)^n \cdot \frac{n!}{n!}$

递推公式: $D_n=(n-1)(D_{n-2}+D_{n-1})(n\ge3)$
证明:(引用来自OI wiki上的证明)

胸口贴着编号为 1,2,⋯,n的 n个球员分别住在编号为 1,2,⋯,n的 n个房间里面。现规定每个人住一个房间，自己的编号不能和房间的编号一样。

这就是错排问题。当 n=3时，只能为 312 或 231 这两种。

那么错排问题的解题思路是什么呢？我们以第二个问题为例：递推还是王道！！！

刚开始所有球员都住在和自己编号一样的房间里面。然后错排开始了，第 n个球员从第 n个房间出来。

第一种情况：
n想和 i(1≤i≤n−1)其中任何一个球员换房间，其他 n−2个人换房间的事情，他们就不管了。其他n−2个球员的的错排数为 d[n−2],n 可以和前面 1∼n−1对换，所以有 n−1个 d[n−2]。

第二种情况：
n想和 i(1≤i≤n−1)其中任何一个球员换房间，但是 n只想 i住在第 n个房间，而 n不想住第 i个房间。

可能你会这样想：那么 n可以让 j住在第 i号房间里面，然后 n住在房间 j。抱歉，j(1≤j≤n−1,j≠i)生气 n为什么一开始就去找 i不直接来找 j。没办法，n把自己胸口的编码n换成了i，他假装自己是 i，然后错排 1∼n−1（也就是 d[n−2]）的时候参与进去，这样自己就不会呆在第i号房间了。所以有 n−1个 d[n−1]。

(来源:OI wiki)

有限制的排列

如 $\{a_1,a_2,\dots,a_n \}$ 为 $\{ 1,2,\dots,n \}$ 的一排列,计算没有出现 $(1,2),(2,3)\dots(n-1,n)$ ,即相对位置有限制的排列数,记为 $Q_n$

通项:
$Q_n=n!-C_1^{n-1} \cdot (n-1)!+C_2^{n-1} \cdot (n-2)!-\dots+(-1)^{n-1} \cdot C_{n-1}^{n-1} \cdot 1!$
其实证明过程依旧是利用容斥原理,和上面的错排类似,只不过因为要求不能出现相邻的元素,所以是从 $n-1$ 对中选择而已.

递推:
$Q_n=D_{n-1}+D_{n-2}$
证明:
$Q_n=n!-C_1^{n-1} \cdot (n-1)!+C_2^{n-1} \cdot (n-2)!-\dots+(-1)^{n-1} \cdot C_{n-1}^{n-1} \cdot 1!$
$=(n-1)! \lgroup n-\frac{n-1}{1!}+\frac{n-2}{2!}-\dots+\frac{(-1)^{(n-1)}}{(n-1)!} \rgroup$
$=(n-1)! \lgroup n-\frac{n}{1!}+\frac{n}{2!}-\dots+\frac{(-1)^{(n-1)} \ n}{(n-1)!}+\frac{(-1)^n n}{n!} \rgroup+(n-1)! \lgroup \frac{1}{1!}+\frac{2}{2!}-\dots+\frac{(-1)^{(n-2)} \ (n-1)}{(n-1)!}+\frac{(-1)^{(n-1)} n}{n!} \rgroup$
$=n!\lgroup1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\dots+\frac{(-1)^n}{n!}\rgroup+(n-1)!\lgroup1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\dots+\frac{(-1)^{(n-1)}}{(n-1)!}\rgroup$
$=D_{n-1}+D_{n-2}$

生成排列

注:这个东西我觉得没有什么用,因为stl自带next_permutation.所以我只是在引用了《组合数学》上的一个生成排列的算法.
这里写图片描述

参考资料

1.OI wiki
2.《组合数学》

2018NOIP知识梳理(四)——数论相关(三)

排列

圆排列