LOJ2424「NOIP2015」子串

子串

题目描述

有两个仅包含小写英文字母的字符串 $A$ 和 $B$ 。现在要从字符串 $A$ 中取出 $k$ 个互不重叠的非空子串，然后把这 $k$ 个子串按照其在字符串 $A$ 中出现的顺序依次连接起来得到一个新的字符串,请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 $B$ 相等？

注意：子串取出的位置不同也认为是不同的方案。

输入格式

第一行是三个正整数 $n,m,k$ ，分别表示字符串 $A$ 的长度，字符串 $B$ 的长度，以及问题描述中所提到的 $k$ ，每两个整数之间用一个空格隔开。
第二行包含一个长度为 $n$ 的字符串，表示字符串 $A$ 。
第三行包含一个长度为 $m$ 的字符串，表示字符串 $B$ 。

输出格式

输出共一行，包含一个整数，表示所求方案数。由于答案可能很大，所以这里要求输出答案对 $1,000,000,007$ 取模的结果。

样例

样例输入 1

6 3 1
aabaab
aab

样例输出 1

样例输入 2

6 3 2
aabaab
aab

样例输出 2

样例输入 3

6 3 3
aabaab
aab

样例输出 3

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数据范围与提示

对于第 $1$ 组数据： $1 \leq n \leq 500,1 \leq m \leq 50,k = 1$ ；
对于第 $2$ 组至第 $3$ 组数据： $1 \leq n \leq 500,1 \leq m \leq 50,k = 2$ ；
对于第 $4$ 组至第 $5$ 组数据： $1 \leq n \leq 500,1 \leq m \leq 50,k = m$ ；
对于第 $1$ 组至第 $7$ 组数据： $1 \leq n \leq 500,1 \leq m \leq 50,1 \leq k \leq m$ ；
对于第 $1$ 组至第 $9$ 组数据： $1 \leq n \leq 1000,1 \leq m \leq 100,1 \leq k \leq m$ ；
对于所有 $10$ 组数据： $1 \leq n \leq 1000,1 \leq m \leq 200,1 \leq k \leq m$ 。

题解

$dp[i][j][k]$ 表示考虑到 $A$ 串第 $i$ 位， $B$ 串的第 $j$ 位，拆成 $k$ 份的方案数， $divi[i][j][k]$ 表示 $A[i]=B[j]$ 且分配方案中包含 $A[i],B[j]$ ，分成 $k$ 份的方案数，就有转移如下：

if(a[i]==b[j])divi[i][j][k]=divi[i-1][j-1][k]+dp[i-1][j-1][k-1];
else divi[i][j][k]=0;
dp[i][j][k]=divi[i][j][k]+dp[i-1][j][k];

发现只用得到 $i$ 与 $i-1$ ，于是就可以滚动数组，又发现只会用到 $j$ 和 $j-1$ ，所以我们倒过来更新，省掉一维。

代码

#include<cstdio>
const int N=1005,M=205,mod=1e9+7;
long long dp[M][M]={1},divi[M][M];
int n,m,p;
char a[N],b[M];
void in(){scanf("%d%d%d%s%s",&n,&m,&p,a,b);}
void ac()
{
	for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=m;j;--j)for(int k=p;k;--k)
	(dp[j][k]+=(divi[j][k]=a[i-1]==b[j-1]?divi[j-1][k]+dp[j-1][k-1]:0))%=mod;
	printf("%lld",dp[m][p]);
}
int main(){in(),ac();}