牛客OI赛制测试赛1 F 子序列（组合数学+容斥）

题目描述

给出一个长度为n的序列，你需要计算出所有长度为k的子序列中，除最大最小数之外所有数的乘积相乘的结果

输入描述:

第一行一个整数T，表示数据组数。
对于每组数据，第一行两个整数N，k，含义如题所示

接下来一行N个整数，表示给出的序列

保证序列内的数互不相同

输出描述:

对于每组数据，输出一个整数表示答案，对取模
每组数据之间以换行分割

示例1

输入

3
4 3 
5 3 1 4
5 4
3 7 5 2 1
10 3 
100 1020 2050 102 12 235 4 57 32135 54354

输出

144
81000
521918013

说明

       
       
        
        第一组数据解释
       
       
       
       
        
        所有长度为3的子序列为
        
        
       
       
       
       
        
        最终答案为

备注:

对于的数据：
对于的数据：
对于的数据：
保证序列中的元素互不相同且，

解题思路：

   对于每个数字在长度为 $k$ 的子序列中出现的次数为 $C_{n-1}^{k-1}$ 次，这个地方解释一下，对于 $a_i$ 这个数来说，如果它出现在子序列中，那么总数还有 $n-1$ 个数字，序列的长度还有 $k-1$ 个，所以结果为 $C_{n-1}^{k-1}$ 。
    如果 $a_i$ 这个数字需要计入结果中，那么 $a_i$ 一定不是最大值或者最小值，所以我们从反面考虑：
   1) 假设 $a_i$ 是最大值的情况，那么我们首先将这个数组进行排序(下标从 $0$ 开始)，那么如果 $a_i$ 是最大值的话，那么一定有下标 $i$ 作为下标结束的末尾，我们只需要从前 $i$ 个数中选取 $k-1$ 个数即可，方法数为 $C_{i}^{k-1}$
   2) 同理， $a_i$ 是最小值的情况的方法数为 $C_{n-i-1}^{k-1}$
综上，令 $p_i= C_{n-1}^{k-1}-C_{i}^{k-1}-C_{n-i-1}^{k-1}$ 对于 $a_i$ 这个数来说，它对答案的贡献为 $a_i^{p_i}$
最终的答案为： $ans=\prod_{i=0}^{n-1}a_i^{p_i}$
最后，只需要预处理组合数取模即可。

代码如下

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MOD = 1e9+7;
const int MAXN = 1e3+5;
int a[MAXN];
LL Pow(LL a, LL b)
{
    LL ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%MOD;
        b>>=1;
        a=a*a%MOD;
    }
    return ans;
}

LL c[MAXN][MAXN];
void Init()
{
    memset(c, 0, sizeof c);
    for(int i=0; i<MAXN; i++)
    {
        c[i][0] = 1;
        for(int j=1; j<=i; j++)
        {
            c[i][j] = (c[i-1][j] + c[i-1][j-1]) % (MOD-1);
        }
    }
}

int main()
{
    Init();
    int T; cin>>T;
    while(T--)
    {
        int n, k; cin>>n>>k;
        for(int i=0; i<n; i++) cin>>a[i];
        sort(a, a+n);
        LL tmp = c[n-1][k-1];
        LL ans = 1;
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            LL b = tmp-c[i][k-1]-c[n-i-1][k-1];
            b = (b%(MOD-1)+(MOD-1))%(MOD-1);
            ans = ans*Pow(a[i], b)%MOD;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}