例说学习方法的改造和提升【知识点的给出方式】

例说学习方法的改造和提升

我们之所以感觉高三或高四很辛苦，除过高中最后一学年是冲刺阶段，任务量大，知识难度大，知识使用灵活，综合程度高，考查频次高，学习强度大这些原因之外，还有一个很重要的原因，就是我们不少学生一直在低效率层次上运转，但愿下面的题组和知识的总结方法，或许能给你一些学习方法和数学思维上启迪。

案例A：限定条件下的均值不等式使用

静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导

$\fbox{例A-1}$
均值不等式中有一类常考题型，比如求限定条件下的最值问题，对应的解决方法是：常数代换或乘常数再除常数。
模型：已知$2m+3n=2，m>0，n>0$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。

分析如下：
$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}=\cfrac{1}{2}\cdot (2m+3n）(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n})=\cfrac{1}{2}\cdot (8+3+\cfrac{2m}{n}+\cfrac{12n}{m})=\cdots$
思维模式：
$\begin{gather*} &2m+3n=4 \\ &\cdots \\&\cdots\end{gather*}$ $\Bigg\}\xrightarrow[或间接推出]{直接给出} 2m+3n=4\xrightarrow[乘常数除以常数]{其他式子}$ $\begin{cases} &\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n} \\ &\cfrac{1}{m}+\cfrac{4}{n} \\ &\cdots\end{cases}$

解后反思：
【模型1】：已知$2m+3n=2，m>0，n>0$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。(给定条件是整式，求分式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式)
分析如下：$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}=\cfrac{1}{2}\cdot (2m+3n）(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n})=\cfrac{1}{2}\cdot (8+3+\cfrac{2m}{n}+\cfrac{12n}{m})=\cdots$
【模型2】：已知$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}=2，m>0，n>0$，求 $2m+3n$的最小值。(给定条件是分式，求整式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式)
【对照1】：已知$\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}=1，a>0，b>0$，求 $\cfrac{2}{a-1}+\cfrac{1}{b-2}$的最小值。(给定条件是分式，求分式的最值，变量集中，再使用均值不等式)
【对照2】：已知$2a+b=1，a>0，b>0$，求 $a^2+2b^2$的最小值。(给定条件是整式，求整式的最值，变量集中，用函数求解最值)

掌握了上述的模型，就能解决这一类问题了吗，回答是否定的，因为限定条件完全可能会以其他形式给出来。请通过下列的例子自行体会、把握。

静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导

$\fbox{例A-5}$ 限定条件以极限或定积分的形式给出

已知$\lim\limits_{x\to 1^+} f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}\cfrac{x}{x^2+3x+1}=m+n，m>0，n>0$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。

如已知$\int_{1}^{2} x\; dx=m+n，m>0，n>0$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。

详解：你可能不会极限和定积分的运算，但是肯定能知道，运算到最后的结果必然是$m+n=$某个确定的值，比如$m+n=\cfrac{1}{5}$，

这样题目就转化为已知$m+n=\cfrac{1}{5}，m>0，n>0$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值，这不就是上述题目吗？

解后反思：注意其他数学知识点的准确计算和表达。

静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导

$\fbox{例A-6}$限定条件以二项式系数的形式给出

已知$(\cfrac{x}{2}+1)^9$展开式中，含$x^3$项的系数为$m+n，m>0，n>0$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。

详解：$(\cfrac{x}{2}+1)^9$展开式中通项公式为$T_{r+1}=C_9^r\cdot (\cfrac{x}{2})^{9-r}\cdot 1^r=C_9^r\cdot x^{9-r}\cdot (\cfrac{1}{2})^{9-r}\cdot 1^r$，

当$r=6$时，含$x^3$项的系数为$C_9^6\cdot (\cfrac{1}{2})^{9-6}=\cfrac{21}{2}$

到此题目转化为已知$m+n=\cfrac{21}{2}，m>0，n>0$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。

这不就是上述题目吗？

解后反思：注意其他数学知识点的准确计算和表达。

静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导

$\fbox{例A-8}$限定条件以向量形式给出
【2017宝鸡市三检】设向量$\overrightarrow{OA}=(1，-2)$，$\overrightarrow{OB}=(a，-1)$，$\overrightarrow{OC}=(-b，0)$，其中$O$为坐标原点，$a，b>0$，若$A,B,C$三点共线，则$\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}$的最小值为多少？

详解：由三点共线的向量表达方式可知，存在实数$\lambda$，使得$\overrightarrow{OA}=\lambda \overrightarrow{OB}+(1-\lambda)\overrightarrow{OC}$，即$(1，-2)=\lambda(a，-1)+(1-\lambda)(-b，0)$
即$\begin{cases}\lambda a-(1-\lambda)b=1\\ -\lambda=-2 \end{cases}$，即$2a+b=1$，
这样题目就转化为已知$2a+b=1，a>0，b>0$，求$\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}$的最小值，这不就是上述题目吗？

解后反思：注意三点共线的向量表示形式。

静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导

$\fbox{例A-12}$ 限定条件以以解三角形和三角形的面积形式给出
已知点M是$\Delta ABC$内的一点，且$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}$，$\angle BAC=\cfrac{\pi}{6}$，
若$\Delta MBC,\Delta MCA,\Delta MAB$的面积分别为$\cfrac{1}{2},x,y$，求$\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{y}$的最小值。

详解：由$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}$，$\angle BAC=\cfrac{\pi}{6}$，
故有$|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|cos\cfrac{\pi}{6}=2\sqrt{3}$，得到$bc=4$，
所以$S_{\Delta ABC}=\cfrac{1}{2}bcsin\cfrac{\pi}{6}=1$，
又$\Delta MBC,\Delta MCA,\Delta MAB$的面积分别为$\cfrac{1}{2},x,y$，
故有$\cfrac{1}{2}+x+y=1$，即$x+y=\cfrac{1}{2}$。
到此，题目为已知$x+y=\cfrac{1}{2}，x>0，y>0$，求$\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{y}$的最小值。可仿模型解决。

解后反思：注意向量和三角形面积公式的使用。

看完这些内容，你难道不觉得我们很需要好好的改造我们的学习方法吗，比如说留意限定条件的各种可能的给出方式；

案例B： $\tan\theta$的各种可能给出方式

静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导

$\fbox{例B-1}$
限定条件以简单变形形式给出
已知$tan\theta=2$，求$\cfrac{sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}$的值。

详解：$\cfrac{sin2\theta-cos^2\theta}{1+sin^2\theta}$
$=\cfrac{2sin\theta cos\theta-cos^2\theta}{2sin^2\theta+cos^2\theta}$
$=\cfrac{2tan\theta-1}{2tan^2\theta+1}$
$=\cfrac{2\times 2-1}{2\times2^2+1}=\cfrac{1}{3}$

解后反思：
1、分子分母都是关于$sin\theta$和$cos\theta$的二次齐次式时，给分子分母同除以$cos^2\theta$，转化为关于$tan\theta$的一元函数问题来求解，代值运算即可。
2、引申
【2】已知$\cfrac{\sin\theta-\cos\theta}{\sin\theta+\cos\theta}=2$，求$\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}$的值。
【3】已知$\theta$角的终边过点$(4，3)$，求$\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}$的值。
【4】已知$\theta$角的终边在直线$3x+4y=0$上，求$\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}$的值。
【5】已知如图，$\tan\theta=AT$，求$\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}$的值。
【6】已知$\sin\theta=2\cos\theta$，求$\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}$的值。
【7】已知$\tan2\theta=-\cfrac{4}{3}$，求$\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}$的值。
【8】若倾斜角为$\alpha$的直线$l$与曲线$y=x^4$相切于点$(1，1)$，求$\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}$的值。
【9】已知$\sin(\cfrac{\pi}{6}-\alpha)=\cos(\cfrac{\pi}{6}+\alpha)$，求$\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}$的值。
【10】以双曲线的渐近线的夹角形式给出
(2018宝鸡市二检)双曲线$\cfrac{y^2}{4}-x^2=1$的渐近线所夹的角中的锐角为$\alpha$，求$cos2\alpha$的值。
分析：由题目可以知道，其渐近线为$y=\pm 2x$，
取其一$y=2x$，则其倾斜角为$\theta$，可知$tan\theta=2$，
求$tan\alpha$的思路之一：
又知道$\theta+\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{\pi}{2}$，则$\theta=\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{\alpha}{2}$，带入上式得到，
$tan\theta=tan(\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{\alpha}{2})=cot\cfrac{\alpha}{2}=2$，即$cot\cfrac{\alpha}{2}=2$，
则$tan\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{1}{2}$，由$tan\alpha=\cfrac{2tan\cfrac{\alpha}{2}}{1-tan^2\cfrac{\alpha}{2}}$得到，$tan\alpha=\cfrac{4}{3}$。
求$tan\alpha$的思路之二：
用三角函数的定义，在$y=2x$上取点$(1，2)$，$tan\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{1}{2}$，
由$tan\alpha=\cfrac{2tan\cfrac{\alpha}{2}}{1-tan^2\cfrac{\alpha}{2}}$得到，$tan\alpha=\cfrac{4}{3}$。
到此，题目转化为已知$tan\alpha=\cfrac{4}{3}$，求$cos2\alpha=？$的值。
$cos2\alpha=\cfrac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{cos^2\alpha+sin^2\alpha}=\cfrac{1-tan^2\alpha}{1+tan^2\alpha}$。

案例C：直线斜率的给出方式

利用斜率$k=\tan\alpha$的定义；
利用过两点的坐标，
利用导函数$k=f'(x_0)$给出，

如若倾斜角为$\alpha$的直线$l$与曲线$y=x^4$相切于点$(1，1)$，则$k=tan\alpha=y'|_{x=1}=4x^3|_{x=1}=4$。

利用函数的切线的方向向量的坐标。

案例D：圆的给出方式

定义式：$|OA|=r$
方程式：标准式方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$；

一般式方程$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(D^2+E^2-4F>0)$；

直径式方程$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$(其中圆的直径的端点是$A(x_1，y_1)、B(x_2，y_2)$)。

参数式：$x=r\cdot cos\theta，y=r\cdot sin\theta$或$(r\cdot cos\theta，r\cdot sin\theta)$
极坐标式：$\rho=3，\theta\in [0，2\pi)$
向量式：已知点$M$为曲线上的动点，点$A,B$为两个定点，且满足关系$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$，则点$M$的轨迹方程是圆。

案例E： $A,B,C$三点共线的给出方式或证明思路

向量表示形式：$\overrightarrow{OA}=\lambda\overrightarrow{OB}+(1-\lambda)\overrightarrow{OC}$或$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{AC}$
距离表示形式：$|AB|+|BC|=|AC|$
斜率表示形式:$k_{AB}=k_{AC}$

案例F： $a_{n+1}-a_n=3$的给出方式

直接给出：$a_{n+1}-a_n=3$
变形给出：$a_{n+1}=a_n+3$
运算给出：$(a_{n+1}+a_n)(a_{n+1}-a_n)=0$，$a_n>0$
向量给出：$\overrightarrow{P_nP_{n+1}}=(1，a_{n+1}-a_n)=(1，3)$

案例G：对称中心的给出方式

直接给出：如函数$f(x)=sin(x+\phi)$的对称中心是$(\cfrac{\pi}{3}，0)$
间接给出：如函数$f(x)=sin(x+\phi)$过点是$(\cfrac{\pi}{3}，0)$，则点$(\cfrac{\pi}{3}，0)$必是函数的对称中心
间接给出：如函数$f(x)=sin(x+\phi)$，满足$\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}}f(x)\, dx=0$，则点$(\cfrac{\pi}{3}，0)$必是函数的对称中心
隐晦给出：如函数满足$f(x)+f(\cfrac{2\pi}{3}-x)=0$，则点$(\cfrac{\pi}{3}，0)$必是函数的对称中心

案例H：相等关系的给出方式

直接给出：如$f(2)=4$，
以不等关系给出：如$2x\leq f(x)\leq \cfrac{1}{2}x^2+2$对任意$x\in R$恒成立，则赋值可得$4\leq f(2)\leq 4$，即$f(2)=4$；

再比如$|k|\leq 0$，即等于给出$k=0$；$(m-1)^2\leq 0$，即等于给出$m=1$；

案例I：不等式的解的给出方式

直接给出：$x=1$是不等式$x^2-2x+a\leq 0$的解，求$a$的范围。
间接给出：集合$\{1\}$是不等式$x^2-2x+a\leq 0$的解集$A$的真子集，求$a$的范围。
间接给出：$x=1$满足不等式$x^2-2x+a\leq 0$是真命题，求$a$的范围；$x=1$满足不等式$x^2-2x+a> 0$是假命题，求$a$的范围。
隐晦给出：集合$A=\{x\mid x^2-2x+a>0\}$，$1\notin A$，求$a$的范围；