题解-Cats Transport

Cats Transport

有 \(n\) 个山丘，\(m\) 只猫子，\(p\) 只铲屎官。第 \(i-1\) 个山丘到第 \(i\) 个山丘的距离是 \(d_i\)。第 \(i\) 只猫子在山丘 \(h_i\) 玩 \(t_i\) 时间。每个铲屎官可以选择出发时间，然后从 \(1\) 号山丘一直不停地每秒一个单位走到 \(n\) 号山丘，领走路上已经玩完的猫。求每只猫都被领走的最小猫子等待时间和。

数据范围：\(2\le n\le 10^5\)，\(1\le m\le 10^5\)，\(1\le p\le 100\)，\(1\le d_i\le 10^4\)，\(1\le h_i\le n\)，\(0\le t_i\le 10^9\)。

可以先预处理一下简化问题：

令 \(D_i=\sum_{j=2}^i d_j\)。

所以 \(1\) 号山丘到 \(i\) 号山丘距离为 \(D_i\)。

令 \(T_i=t_i-D_{h_i}\)。

所以可以视为所有猫咪都在 \(1\) 号山丘，玩完的时间是 \(T_i\)。

将每只猫咪按 \(T_i\) 排序，使 \(T_{i-1}\le T_i\)（每只猫子只需要 \(T_i\) 一个信息即可）。

所以题目就变成了将序列 \(T_i\) 分成 \(p\) 个子序列，使得每个数与它的子序列中最大的数的差的和最小。

这里的子序列不要求连续，但是很明显在 \(T_i\) 有序的情况下，连续更优。

不妨设第 \(a\) 个铲屎官领走了第 \(j+1\sim i\) 只猫子，即子序列中的最大数为 \(T_i\)，可以如下 \(\texttt{dp}\)：

设 \(f_{a,i}\) 表示到第 \(a\) 个铲屎官领到第 \(i\) 只猫子的最小等待时间和。

\[f_{a,i}=\min\{f_{a-1,j}+\sum_{h=j+1}^i(T_i-T_h)\} \]

优化一下，令 \(s_i=\sum_{j=1}^i T_j\)：

\[\begin{split} f_{a,i}=&\min\{f_{a-1,j}+T_i(i-j)-(s_i-s_j)\}\\ f_{a,i}=&f_{a-1,j}+T_i(i-j)-(s_i-s_j)\\ f_{a,i}=&f_{a-1,j}+iT_i-jT_i-s_i+s_j\\ f_{a-1,j}+s_j=&T_i\cdot j+f_{a,i}+s_i-iT_i\\ \end{split} \\ \begin{cases} y=f_{a-1,j}+s_j\\ k=T_i\\ x=j\\ b=f_{a,i}+s_i-iT_i\\ \end{cases} \]

套个斜率优化维护 \(\texttt{dp}\) 最小值下凸壳模板即可。

时间复杂度 \(\Theta(n+m\log m+mp)\)，空间复杂度 \(\Theta(n+mp)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//Start
#define re register
#define il inline
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define db double
#define lng long long
#define fi first
#define se second
const int inf=0x3f3f3f3f;
const lng INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data
const int N=100000,P=100;
int n,m,p;
lng d[N+7],t[N+7],s[N+7];

//DP
lng f[P+7][N+7];
pair<int,int> lor[P+7];
int q[P+7][N+7];
#define l(x) lor[x].fi
#define r(x) lor[x].se
il db X(re int a,re int j){
	return j;
}
il db Y(re int a,re int j){
	return f[a][j]+s[j];
}
il db slope(re int a,re int k,re int t){
	return (Y(a,k)-Y(a,t))/(X(a,k)-X(a,t));
}
il lng F(re int a,re int i,re int j){
	return f[a-1][j]+t[i]*(i-j)-(s[i]-s[j]);
}
il lng DP(){
	for(re int a=0;a<=p;a++){ //必须初始化
		lor[a]=mk(1,0);
		q[a][++r(a)]=0;
	}
	for(re int a=1;a<=p;a++){
		for(re int i=1;i<=m;i++){
			// printf("(%d,%d)\n",a,i);
			while(l(a-1)<r(a-1)&&slope(a-1,q[a-1][l(a-1)],q[a-1][l(a-1)+1])<=t[i]) l(a-1)++;
			//维护a-1队列递推
			f[a][i]=F(a,i,q[a-1][l(a-1)]);
			while(l(a)<r(a)&&slope(a,q[a][r(a)-1],q[a][r(a)])>=slope(a,q[a][r(a)],i)) r(a)--;
			//维护a队列为递推a+1做准备
			q[a][++r(a)]=i;
		}
	}
	return f[p][m];
}

//Main
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
	if(p>=m) return puts("0"),0;
	for(re int i=2,x;i<=n;i++){
		scanf("%d",&x);
		d[i]=d[i-1]+x;
	}
	for(re int i=1,x,y;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		t[i]=-d[x]+y;
	}
	sort(t+1,t+m+1);
	for(re int i=1;i<=m;i++) s[i]=s[i-1]+t[i];
	printf("%lld\n",DP());
	return 0;
}

祝大家学习愉快！