题目描述
策策同学特别喜欢逛公园。公园可以看成一张N个点M条边构成的有向图，且没有 自环和重边。其中1号点是公园的入口，N号点是公园的出口，每条边有一个非负权值， 代表策策经过这条边所要花的时间。
策策每天都会去逛公园，他总是从1号点进去，从N号点出来。
策策喜欢新鲜的事物，它不希望有两天逛公园的路线完全一样，同时策策还是一个 特别热爱学习的好孩子，它不希望每天在逛公园这件事上花费太多的时间。如果1号点 到N号点的最短路长为d，那么策策只会喜欢长度不超过d+K的路线。
策策同学想知道总共有多少条满足条件的路线，你能帮帮它吗？
为避免输出过大，答案对P取模。
如果有无穷多条合法的路线，请输出−1。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含一个整数 T, 代表数据组数。
接下来TT组数据，对于每组数据： 第一行包含四个整数 N,M,K,P，每两个整数之间用一个空格隔开。
接下来M行，每行三个整数ai,bi,ci，代表编号为ai,bi的点之间有一条权值为 ci的有向边，每两个整数之间用一个空格隔开。
输出格式：
输出文件包含 T 行，每行一个整数代表答案。
输入输出样例
2 5 7 2 10 1 2 1 2 4 0 4 5 2 2 3 2 3 4 1 3 5 2 1 5 3 2 2 0 10 1 2 0 2 1 0
3 -1
说明
【样例解释1】
对于第一组数据，最短路为 33。 $1 – 5, 1 – 2 – 4 – 5, 1 – 2 – 3 – 5$ 为 33 条合法路径。
【测试数据与约定】
对于不同的测试点，我们约定各种参数的规模不会超过如下
| 测试点编号 | TT | NN | MM | KK | 是否有0边 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 5 | 10 | 0 | 否 |
| 2 | 5 | 1000 | 2000 | 0 | 否 |
| 3 | 5 | 1000 | 2000 | 50 | 否 |
| 4 | 5 | 1000 | 2000 | 50 | 否 |
| 5 | 5 | 1000 | 2000 | 50 | 否 |
| 6 | 5 | 1000 | 2000 | 50 | 是 |
| 7 | 5 | 100000 | 200000 | 0 | 否 |
| 8 | 3 | 100000 | 200000 | 50 | 否 |
| 9 | 3 | 100000 | 200000 | 50 | 是 |
| 10 | 3 | 100000 | 200000 | 50 | 是 |
对于 100%的数据, 1 \le P \le 10^9,1 \le a_i,b_i \le N ,0 \le c_i \le 10001≤P≤109,1≤ai,bi≤N,0≤ci≤1000。
数据保证：至少存在一条合法的路线。
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在此衷心感谢rockdu～
还是本着避开DP的原则，这一次我们继续用骚操作的避开一波浓浓的DP味～～～～
以下摘录rockdu的原话加上我的一点点理解：
首先这道题关键的一步是找出T到所有点的最短路是多少，
虽然起点很多但是终点只有一个，我们从终点反着跑最短路，就可以求出所有的最优距离。
然后我们想，如果从S出发到达点u，距离误差已经超过了K，这时候会怎么样呢？
我们无力回天，因为即使用最优策略也只能让误差不增加
所以对于每一个点，我们只关心误差在K以内的方案数
这时候统计方案数需要用到一个技巧，叫拆点最短路
对于每一个原图中的点，我们把它都拆成K个点，第x个点表示到了点u时误差为x的状态，也就是说强行把原来的走到u这个状态细化了，现在每一个小点能更精确的表示需要的信息
再进一步思考，这个图一定是一个dag：因为边权不为0，误差一定增大
那么想象一下，如果把小点从平面的图中拉出来
形成一层一层的结构，每一层都是一个x，那么一定是只能从x小的层向x大的层流动
也就是不可能一个点误差是k走一圈回来误差仍然是k，整个层次图构成了dag
因此，统计dag上可以到达T的路径数就可以了，写一个记忆化搜索做到O(n) (我最后用的topsort+f[i]来解决这一个问题 topsort顺便用来判了-1的情况
如果有边权为0的，并且可以反向到达S正向到达T的环，那么有无限组方案
我觉得整个过程真的是妙妙啊....
同时要注意：
1.memset(first,0,sizeof(first));
2.根据新图的性质要把数组开到足够大
3.仔细品读建新图的过程
4.记得手写队列
以下代码：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<cmath> 5 #include<algorithm> 6 #include<queue> 7 #define N 200100 8 #define ll long long 9 using namespace std; 10 int n,m,k,p; 11 ll ans; 12 struct node 13 { 14 int u,v,w,nxt; 15 }e[N*2],g[N*53]; 16 int first[N],cnt; 17 void ade(int u,int v,int w) 18 { 19 e[++cnt].nxt=first[u]; first[u]=cnt; 20 e[cnt].u=u; e[cnt].v=v; e[cnt].w=w; 21 } 22 int fir[N*53],cnnt; 23 void adde(int u,int v,int w) 24 { 25 g[++cnnt].nxt=fir[u]; fir[u]=cnnt; 26 g[cnnt].u=u; g[cnnt].v=v; g[cnnt].w=w; 27 } 28 void adeg(int u,int v) 29 { 30 g[++cnnt].nxt=fir[u]; fir[u]=cnnt; 31 g[cnnt].u=u; g[cnnt].v=v; 32 } 33 ll dis[N]; 34 bool vis[N]; 35 36 void spfa(int x) 37 { 38 queue<int>q; 39 memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); 40 memset(vis,true,sizeof(vis)); 41 q.push(x); 42 dis[x]=0; 43 while(!q.empty()) 44 { 45 int u=q.front(); q.pop(); 46 vis[u]=true; 47 for(int i=first[u];i;i=e[i].nxt) 48 { 49 int v=e[i].v; 50 if(dis[v]>dis[u]+e[i].w) 51 { 52 dis[v]=dis[u]+e[i].w; 53 if(vis[v]==true) 54 { 55 q.push(v); 56 vis[v]=false; 57 } 58 } 59 } 60 } 61 } 62 ll dis2[N]; 63 void spfa2(int x) 64 { 65 queue<int>q; 66 memset(dis2,0x3f,sizeof(dis)); 67 memset(vis,true,sizeof(vis)); 68 q.push(x); 69 dis2[x]=0; 70 while(!q.empty()) 71 { 72 int u=q.front(); q.pop(); 73 vis[u]=true; 74 for(int i=fir[u];i;i=g[i].nxt) 75 { 76 int v=g[i].v; 77 if(dis2[v]>dis2[u]+g[i].w) 78 { 79 dis2[v]=dis2[u]+g[i].w; 80 if(vis[v]==true) 81 { 82 q.push(v); 83 vis[v]=false; 84 } 85 } 86 } 87 } 88 } 89 int get(int x,int y) 90 { 91 return (x-1)*(k+1)+y+1; 92 } 93 int ru[N*53]; 94 void build_graph() 95 { 96 for(int i=1;i<=m;i++) 97 { 98 int u=e[i].u,v=e[i].v,w=e[i].w; 99 int x=get(u,0); 100 int y=get(v,dis[u]+w-dis[v]); 101 for(int j=dis[u];j+w+dis2[v]<=dis[n]+k;j++,x++,y++) 102 { adeg(x,y); ru[y]++; } 103 } 104 } 105 ll sum,f[N*53]; 106 int q[N<<6]; 107 void topsort2() 108 { 109 int l = 0,r=0; 110 for(int i = 1;i<=n*(k+1);i++) 111 if(!ru[i]) q[++r]=i; 112 f[1]=1; 113 while(l<r) 114 { 115 int x=q[++l]; 116 sum++; 117 for(int i=fir[x];i;i=g[i].nxt) 118 { 119 int v=g[i].v; 120 ru[v]--; 121 if(!ru[v]) q[++r]=v; 122 f[v]+=f[x]; 123 f[v] = f[v]>p ? f[v]-p : f[v]; 124 } 125 } 126 } 127 void pre() 128 { 129 memset(first,0,sizeof(first)); 130 memset(fir,0,sizeof(fir)); 131 memset(f,0,sizeof(f)); 132 memset(ru,0,sizeof(ru)); 133 sum=ans=cnnt=cnt=0; 134 } 135 int main() 136 { 137 int t; 138 scanf("%d",&t); 139 while(t--) 140 { 141 pre(); 142 scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&p); 143 for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++) 144 { 145 scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); 146 ade(x,y,z); adde(y,x,z); 147 } 148 spfa(1); 149 spfa2(n); 150 memset(fir,0,sizeof(fir)); 151 cnnt=0; 152 build_graph(); 153 topsort2(); 154 int num=(k+1)*n; 155 if(sum<num) printf("-1\n"); 156 else 157 { 158 for(int i=0;i<=k;i++) 159 ans=(ans+f[get(n,i)])%p; 160 printf("%lld\n",ans); 161 } 162 } 163 return 0; 164 } 165 /* 166 1 167 5 7 2 10 168 1 2 1 169 2 4 0 170 4 5 2 171 2 3 2 172 3 4 1 173 3 5 2 174 1 5 3 175 */
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