[NOIP] [最短路] [拓扑排序] [DP] NOIP2017Day1 逛公园

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考试 T3 看到策策就已经鏼鏼发抖了……然而 T2 几乎敲了2h，就没时间了，敲个暴力 $10$ 分走人……
注意到 $k\le 50$ ，考虑 DP……
令 $\text{dp}[u][\text{len}]$ 表示走过路径比 $1\to u$ 的最短路多 $\text{len}$ 长度的路径条数。
令 $v$ 为 $u$ 的后继节点，$u\to v$ 的权值为 $w$，转移是这样的：

$$\begin{equation} \text{dp}[v][\text{dis}_u+\text{len}+w-dis_v]={dp}[v][\text{dis}_u+\text{len}+w-dis_v]+\text{dp}[u][\text{len}] \end{equation}$$
其中， $\text{dis}_i$ 表示 $1\to i$ 的最短路径长度。
初值为： $\text{dp}[1][0]=1$
这样我们会发现这个 DP 转移是存在环的，在最短路上的点和零环上的点都可以在同一层互相转移……
于是我们对最短路径上的边以及零边拿来做拓扑排序，这样更新就有顺序了，在最短路上的边和零边就严格按照拓扑序进行转移。
注意到如果有一个零环位于 $1\to n$ 的长度为 $\text{dis}_n+k$ 的路径上，则路径条数无穷多（绕零环跑无穷圈），输出 $-1$。
不过，跑 DFS 进行记忆化搜索可能更快一些……
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