BZOJ3091城市旅行——LCT区间信息合并

题目描述

输入

输出

样例输入

4 5
1 3 2 5
1 2
1 3
2 4
4 2 4
1 2 4
2 3 4
3 1 4 1
4 1 4

样例输出

16/3
6/1

提示

对于所有数据满足 1<=N<=50,000 1<=M<=50,000 1<=Ai<=10^6 1<=D<=100 1<=U,V<=N

前三个操作都很简单了，LCT就能维护，重点是第四个操作。

求一个区间所有子区间的区间和之和，直接求所有区间和不好求，我们换一种角度去做。

考虑每个点对区间的贡献，假设当前区间是[l,r]，对于区间中的点k(l<=k<=r)，它的贡献就是它的点权*(k-l+1)*(r-k+1)。

那么我们维护区间答案，考虑怎么上传及修改？

先说上传，就是将一个点的左儿子区间+这个点+这个点的右儿子区间合并。

我们设size[x]为x子树大小，也就是x子树所代表的区间的长度；ls代表左子树，rs代表右子树。

对于左区间，每个点的贡献要加上它从左往右数的排名*它的点权*(1+size[rs])。

对于右区间，每个点的贡献要加上它从右往左数的排名*它的点权*(1+size[ls])。

对于点x要加上它的点权*(1+size[ls])*(1+size[rs])。

发现排名*点权的和无法直接求，因此还要维护两个信息lv[x],rv[x]，分别代表x子树所代表区间中每个点点权*从左/从右排名的和。

再看看这两个信息怎么合并，就以lv[x]为例吧，先将左右节点的lv加上，左子树lv不变，右子树的lv发现每个点排名都加了(1+size[ls])，只要再加上右子树权值和*(1+size[ls])就好了。

综上所述，我们需要维护六个变量val,sum,lv,rv,size,ans，分别代表单点权值、子树权值和、点权*从左数排名之和、点权*从右数排名之和、子树节点数、区间所有子区间和之和即答案。

再说怎么修改？设n代表区间长,v为修改时的增量

val和sum比较常规在这就不说了。

lv和rv都加了 $v*\sum_{i=1}^{n}i=v*\frac{n*(n+1)}{2}$

而ans则加了 $v*\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}j=v*\sum_{i=1}^{n}\frac{i*(i+1)}{2}=v*\frac{n*(n+1)*(n+2)}{6}$

最后这个推一个通项公式就好了。

知道怎么上传和修改后剩下的就LCT基本操作了。

但要注意翻转时也要把lv和rv交换且旋到原树根的操作splay之后不能只打标记，要先把当前点左右子树翻转，否则当前点的lv和rv是反的。

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define ls s[rt][0]
#define rs s[rt][1]
using namespace std;
int n,m;
int x,y;
int opt;
ll z;
int r[50010];
int s[50010][2];
int f[50010];
int st[50010];
ll lv[50010];
ll rv[50010];
ll sum[50010];
ll size[50010];
ll val[50010];
ll ans[50010];
ll a[50010];
ll p,q;
ll res;
int get(int rt)
{
    return s[f[rt]][1]==rt;
}
int is_root(int rt)
{
    return s[f[rt]][1]!=rt&&s[f[rt]][0]!=rt;
}
void add(int rt,ll v)
{
    val[rt]+=v;
    sum[rt]+=v*size[rt];
    lv[rt]+=v*size[rt]*(size[rt]+1)/2;
    rv[rt]+=v*size[rt]*(size[rt]+1)/2;
    ans[rt]+=v*size[rt]*(size[rt]+1)*(size[rt]+2)/6;
    a[rt]+=v;
}
void flip(int rt)
{
    swap(ls,rs);
    swap(lv[rt],rv[rt]);
    r[rt]^=1;
}
void pushup(int rt)
{
    size[rt]=size[ls]+size[rs]+1;
    sum[rt]=sum[ls]+sum[rs]+val[rt];
    lv[rt]=lv[ls]+lv[rs]+(val[rt]+sum[rs])*(size[ls]+1);
    rv[rt]=rv[ls]+rv[rs]+(val[rt]+sum[ls])*(size[rs]+1);
    ans[rt]=ans[ls]+ans[rs]+val[rt]*(size[ls]+1)*(size[rs]+1)+lv[ls]*(size[rs]+1)+rv[rs]*(size[ls]+1);
}
void pushdown(int rt)
{
    if(r[rt])
    {
        r[rt]^=1;
        flip(ls);
        flip(rs);
    }
    if(a[rt])
    {
        add(ls,a[rt]);
        add(rs,a[rt]);
        a[rt]=0;
    }
}
void rotate(int rt)
{
    int fa=f[rt];
    int anc=f[fa];
    int k=get(rt);
    if(!is_root(fa))
    {
        s[anc][get(fa)]=rt;
    }
    s[fa][k]=s[rt][k^1];
    f[s[fa][k]]=fa;
    s[rt][k^1]=fa;
    f[fa]=rt;
    f[rt]=anc;
    pushup(fa);
    pushup(rt);
}
void splay(int rt)
{
    int top=0;
    st[++top]=rt;
    for(int i=rt;!is_root(i);i=f[i])
    {
        st[++top]=f[i];
    }
    for(int i=top;i>=1;i--)
    {
        pushdown(st[i]);
    }
    for(int fa;!is_root(rt);rotate(rt))
    {
        if(!is_root(fa=f[rt]))
        {
            rotate(get(fa)==get(rt)?fa:rt);
        }
    }
}
void access(int rt)
{
    for(int x=0;rt;x=rt,rt=f[rt])
    {
        splay(rt);
        s[rt][1]=x;
        pushup(rt);
    }
}
void reverse(int rt)
{
    access(rt);
    splay(rt);
    flip(rt);
}
void link(int x,int y)
{
    reverse(x);
    f[x]=y;
}
void cut(int x,int y)
{
    reverse(x);
    access(y);
    splay(y);
    if(s[x][1]||f[x]!=y)
    {
        return ;
    }
    s[y][0]=f[x]=0;
    pushup(y);
}
void change(int x,int y,ll z)
{
    reverse(x);
    access(y);
    splay(y);
    add(y,z);
}
int find(int rt)
{
    while(f[rt])
    {
        rt=f[rt];
    }
    return rt;
}
void split(int x,int y)
{
    reverse(x);
    access(y);
    splay(y);
}
ll gcd(ll x,ll y)
{
    if(y==0)
    {
        return x;
    }
    return gcd(y,x%y);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&val[i]);
        pushup(i);
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        link(x,y);
    }
    while(m--)
    {
        scanf("%d%d%d",&opt,&x,&y);
        if(opt==1)
        {
            if(find(x)==find(y))
            {
                cut(x,y);
            }
        }
        else if(opt==2)
        {
            if(find(x)!=find(y))
            {
                link(x,y);
            }
        }
        else if(opt==3)
        {
            scanf("%lld",&z);
            if(find(x)==find(y))
            {
                split(x,y);
                add(y,z);
            }
        }
        else
        {
            if(find(x)==find(y))
            {
                split(x,y);
                p=ans[y];
                q=size[y]*(size[y]+1)/2;
                res=gcd(p,q);
                printf("%lld/%lld\n",p/res,q/res);
            }
            else
            {
                printf("-1\n");
            }
        }
    }
}