bzoj 3510 首都 (LCT)

洛谷P4299传送门

题目大意：给你一颗树，边是一条一条连上去的

在连接过程中会存在询问，询问当前节点所在联通块(其实是一颗树)的重心是哪个节点

以及森林中所有树的重心的异或和

在做这道题之前，要先了解树的重心的一个性质：

两棵树合并时，新树的重心在合并后，原来两颗树的重心的两个节点构成的那条链上

了解了这条性质，思路就不难想了

当连接两个节点时，先寻找它们所在原树的重心，然后连接这两个节点，在取出两个原树重心那两个节点构成的那条链

每次寻找重心，连接节点，取出重心形成了链，复杂度约为 $O(logn)$

如果我们暴力跑这条链，最差的情况是每次合并时，两颗树都是等长的链，然后像线段树那样从下往上合并，合并次数最多是 $O(nlogn)$ 次，注意符合条件的重心最多只有2个，且子树的大小符合单调性，当越过所有重心时，及时跳出循环防止卡常

总复杂度 $O(nlog^2n)$

~~然而我还是喜闻乐见得被卡常了~~

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define il inline
#define N 200100
using namespace std;

int n,m,tp,num,xsum;
int stk[N],que[N];

struct LinkCutTree{
    #define ls ch[x][0]
    #define rs ch[x][1]
    int fa[N],ch[N][2],sz[N],sum[N],rv[N];
    il int idf(int x){return ch[fa[x]][0]==x?0:1;}
    il void rev(int x){swap(ls,rs),rv[x]^=1;}
    il int isroot(int x){return (ch[fa[x]][0]!=x&&ch[fa[x]][1]!=x)?1:0;}
    il void pushup(int x){sum[x]=sum[ls]+sum[rs]+sz[x]+1;}
    il void pushdown(int x)
    {
        if(rv[x]){
            if(ls) rev(ls);
            if(rs) rev(rs);
            rv[x]^=1;
        }
    }
    il void rot(int x)
    {
        int y=fa[x],ff=fa[y],px=idf(x),py=idf(y);
        if(!isroot(y)) ch[ff][py]=x;fa[x]=ff;
        ch[y][px]=ch[x][px^1],fa[ch[x][px^1]]=y;
        ch[x][px^1]=y,fa[y]=x;
        pushup(y),pushup(x);
    }
    void splay(int x)
    {
        int y=x;stk[++tp]=x;
        while(!isroot(y)){stk[++tp]=fa[y],y=fa[y];}
        while(tp){pushdown(stk[tp--]);}
        while(!isroot(x))
        {
            y=fa[x];
            if(isroot(y)) rot(x);
            else if(idf(y)==idf(x)) rot(y),rot(x);
            else rot(x),rot(x);
        }
    }
    void access(int x){
        for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
            splay(x),sz[x]-=sum[y],sz[x]+=sum[ch[x][1]],ch[x][1]=y,pushup(x);}
    il void mkroot(int x){access(x),splay(x),rev(x);}
    il void split(int x,int y){mkroot(y),access(x),splay(x);}
    il int findrt(int x){
        access(x),splay(x);
        while(1){
            pushdown(x);
            if(!ch[x][0])break;
            x=ch[x][0];}
        splay(x);return x;
    }
    void mid_dfs(int x)
    {
        pushdown(x);
        if(ls) mid_dfs(ls);
        que[++num]=x;
        if(rs) mid_dfs(rs);
    }
    il void link(int x,int y)
    {
        int gx=findrt(x),gy=findrt(y);
        xsum=xsum^gx^gy;
        if(sum[gx]<sum[gy]) swap(x,y),swap(gx,gy);
        split(x,y),fa[y]=x,sz[x]+=sum[y],pushup(x);
        num=0,split(gy,gx),mid_dfs(gy);
        int ma=sum[gy]/2,ans=0x3f3f3f3f;
        for(int i=1;i<=num;i++){
            splay(que[i]);
            if(sum[ch[que[i]][0]]<=ma&&sum[ch[que[i]][1]]<=ma&&que[i]<ans)
                ans=que[i];
            if(sum[ch[que[i]][0]]>ma) break;}
        mkroot(ans);
        xsum^=ans;
    }
    #undef ls
    #undef rs
}lct;
int gint()
{
    int rett=0,fh=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')fh=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){rett=(rett<<3)+(rett<<1)+c-'0';c=getchar();}
    return rett*fh;
}
void gchar(char str[])
{
    int p=0;char c=getchar();
    while(!((c>='A'&&c<='Z')||(c>='a'&&c<='z'))){c=getchar();}
    while((c>='A'&&c<='Z')||(c>='a'&&c<='z')){str[p++]=c;c=getchar();}
    str[p]='\0';
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) xsum^=i;
    char q[10];int x,y;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        gchar(q);
        if(q[0]=='A'){
            x=gint(),y=gint();
            lct.link(x,y);
        }else if(q[0]=='Q'){
            x=gint();
            printf("%d\n",lct.findrt(x));
        }else printf("%d\n",xsum);
    }
    return 0;
}

猜你喜欢