排序【4.1】归并排序(MergeSort)

归并排序（Merge Sort）

1、基本思想：

将两个的有序数列合并成一个有序数列，我们称之为"归并"。
归并排序(Merge Sort)就是利用归并思想对数列进行排序。根据具体的实现，归并排序包括"从上往下"和"从下往上"2种方式。

（1）从下往上的归并排序：将待排序的数列分成若干个长度为1的子数列，然后将这些数列两两合并；得到若干个长度为2的有序数列，再将这些数列两两合并；得到若干个长度为4的有序数列，再将它们两两合并；直接合并成一个数列为止。这样就得到了我们想要的排序结果。(参考下面的图片)
（2）从上往下的归并排序：它与"从下往上"在排序上是反方向的。它基本包括3步：
① 分解 – 将当前区间一分为二，即求分裂点 mid = (low + high)/2;
② 求解 – 递归地对两个子区间a[low…mid] 和 a[mid+1…high]进行归并排序。递归的终结条件是子区间长度为1。
③ 合并 – 将已排序的两个子区间a[low…mid]和 a[mid+1…high]归并为一个有序的区间a[low…high]。

下面的图片很清晰的反映了"从下往上"和"从上往下"的归并排序的区别。
在这里插入图片描述

2、排序过程：

从上往下的归并排序采用了递归的方式实现。它的原理非常简单，如下图：
在这里插入图片描述
通过"从上往下的归并排序"来对数组{80,30,60,40,20,10,50,70}进行排序时：

将数组{80,30,60,40,20,10,50,70}看作由两个有序的子数组{80,30,60,40}和{20,10,50,70}组成。对两个有序子树组进行排序即可。
将子数组{80,30,60,40}看作由两个有序的子数组{80,30}和{60,40}组成。
将子数组{20,10,50,70}看作由两个有序的子数组{20,10}和{50,70}组成。
将子数组{80,30}看作由两个有序的子数组{80}和{30}组成。
将子数组{60,40}看作由两个有序的子数组{60}和{40}组成。
将子数组{20,10}看作由两个有序的子数组{20}和{10}组成。
将子数组{50,70}看作由两个有序的子数组{50}和{70}组成。

从下往上的归并排序的思想正好与"从下往上的归并排序"相反。如下图：
在这里插入图片描述
通过"从下往上的归并排序"来对数组{80,30,60,40,20,10,50,70}进行排序时：

将数组{80,30,60,40,20,10,50,70}看作由8个有序的子数组{80},{30},{60},{40},{20},{10},{50}和{70}组成。
将这8个有序的子数列两两合并。得到4个有序的子树列{30,80},{40,60},{10,20}和{50,70}。
将这4个有序的子数列两两合并。得到2个有序的子树列{30,40,60,80}和{10,20,50,70}。
将这2个有序的子数列两两合并。得到1个有序的子树列{10,20,30,40,50,60,70,80}。

3、时间复杂度：

归并排序的时间复杂度是 $O(N*lgN)$ 。
假设被排序的数列中有N个数。遍历一趟的时间复杂度是O(N)，需要遍历多少次呢？
归并排序的形式就是一棵二叉树，它需要遍历的次数就是二叉树的深度，而根据完全二叉树可以得出它的时间复杂度是 $O(N*lgN)$ 。

4、稳定性：

归并排序是稳定的算法，它满足稳定算法的定义。

5、应用：

归并排序的两个应用：
1、数据库：基于排序的关系操作中，利用归并排序将表数据划分为n个有序子表，然后将数据逐片读入内存中，执行具体关系操作后输出。数据库中物理计划的选择方法可选用动态规划、分支定界、…
2、MapReduce：在Hadoop MapReduce的shuffle阶段，Map后的数据首先对key hash后再以reduce task数据取模(即Partition)，key/value对以及Partition的结果都会被写入内存缓冲区，内存缓冲区将满会将数据溢写到磁盘，溢写时会对key做排序，发生多次溢写，最后将多个溢写文件归并到一起，经网络传输进入相应的TaskTracker，Reduce端执行合并操作。

6、算法实现（python3）

"""
归并排序：

基本思想：
将两个的有序数列合并成一个有序数列，我们称之为"归并"。
① 分解 -- 将当前区间一分为二，即求分裂点 mid = (low + high)/2;
② 求解 -- 递归地对两个子区间a[low...mid] 和 a[mid+1...high]进行归并排序。递归的终结条件是子区间长度为1。
③ 合并 -- 将已排序的两个子区间a[low...mid]和 a[mid+1...high]归并为一个有序的区间a[low...high]。

时间复杂度：O(nlog(n))

参数说明：
data -- 包含两个有序区间的数组
start -- 第1个有序区间的起始地址。
mid   -- 第1个有序区间的结束地址。也是第2个有序区间的起始地址。
end   -- 第2个有序区间的结束地址。

"""
# 合并排序过程
def merge(data, start, mid, end):
    tmp = []
    i = start
    j = mid + 1
    while i <= mid and j <= end:      # O(n)
        if data[i] <= data[j]:
            tmp.append(data[i])
            i += 1
        else:
            tmp.append(data[j])
            j += 1

    for ii in range (i, mid + 1):
        tmp.append(data[ii])

    for jj in range(j, end + 1):
        tmp.append(data[jj])

    for k in range(len(tmp)):
        data[start + k] = tmp[k]

# 归并过程
def mergeSort(data, start, end):
    if data == None or start >= end:
        return
    mid = (end + start) // 2      # O(log(n))
    mergeSort(data, start, mid)
    mergeSort(data, mid + 1, end)
    merge(data, start, mid, end)


if __name__ == '__main__':
    data = [20, 40, 30, 10, 60, 50]
    data_len = len(data)
    print("before sort:", data)

    mergeSort(data, 0, data_len-1)

    print("after sort:", data)

运行结果：

before sort: [20, 40, 30, 10, 60, 50]
after sort: [10, 20, 30, 40, 50, 60]