1002: [FJOI2007]轮状病毒
Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 162 MBSubmit: 6917 Solved: 3777
[ Submit][ Status][ Discuss]
Description
轮状病毒有很多变种，所有轮状病毒的变种都是从一个轮状基产生的。一个N轮状基由圆环上N个不同的基原子
和圆心处一个核原子构成的，2个原子之间的边表示这2个原子之间的信息通道。如下图所示
.png)
N轮状病毒的产生规律是在一个N轮状基中删去若干条边，使得各原子之间有唯一的信息通道，例如共有16个不
同的3轮状病毒，如下图所示
.png)
Input
第一行有1个正整数n
Output
计算出的不同的n轮状病毒数输出
Sample Input
Sample Output
HINT
Source
题解：
一道及其艰辛的推导题；（感觉bzoj的前两个题对新人不太友好啊）
当然可以用基尔霍夫矩阵；
打表可得$g_i = 3g_{i-1} - g_{i-2} + 2$；再用一个高精度就好了
可以用递推证明：
①先不考虑中间的点，最后再将中间的点和外面的点连起来，假设某种方案将外面的环分成了i条链，每条的点数为si，每个链都可以任选一个点连上中间的点，这种方案的贡献就为$\prod_i si$,设长度为i的链分成若干链的$\sum \prod_i si$为$f_i$，轮状病毒的总方案的为$g_i$
$g_n$的转移枚举第一个点所在的链的长度s1，此时1的位置一共有s1种可能，再乘上剩下的长度为n-s1的链的方案数$f_{n-s1}$；
$f_n$的转移枚举最后一段链的长度，用最后一段链的长度乘剩下的$f_j$
$$\left\{\begin{array}{c}f_0 = 1\\f_i = \sum_{j=0}^{i} (j-i)f_j\end{array}\right.$$
$$\left \{ \begin{array}{c} g_0 = 1\\g_i = \sum_{j=0}^{i} (j-i)^2 {f_j} \end{array}\right.$$
我们先证明：$f_{i-1} + f_{i+1} = 3f_{i}$
$$f_{i-1} + f_{i+1}\\= \sum_{j=0}^{i-1}(i-1-j)f_{j} + \sum_{j=0}^{i+1}(i+1-j)f_{j} \\= \sum_{j=0}^{i-1}2(i-j)f_{j} + f_i \\= 2 \sum_{j=0}^{i}(i-j)f_{j} + f_i \\= 2 f_i + f_i \\= 3 f_i $$
再对g同样操作：
$$g_{i-1} + g_{i+1} \\
= \sum_{j=0}^{i+1}(i+1-j)^2 f_j + \sum_{j=0}^{i-1}(i-1-j)^2 f_j \\
= \sum_{j=0}^{i-1}((i+1-j)^2 + (i-1-j)^2) f_j + f_i \\
= \sum_{j=0}^{i-1}2((i-j)^2 + 1)f_j + f_i \\
= 2 \sum_{j=0}^{i}(i-j)^2 f_j + 2 \sum_{j=0}^{i-1}f_j + f_i \\
= 2 g_i + 2 + 2 \sum_{j=1}^{i-1}f_j + fi \\
$$