树
树的一些结论
度: 一个节点的孩子数称为度。
一颗树的边数 = 节点数n - 1 意义在于衡量算法复杂度时使用。
树的特性
路径(通路) + 环路
通路： a, b 之间通过节点连接成的路。
* 长度：所有边的数目（有些文献使用节点定义长度）环路：通路的俩个节点彼此短路，即重合构成环路。eg. a - b - c - d - b
连通图：节点之间均有路径
无环图：没有环路
重要特性
- 所谓的树就是无环连同图。极小连通图，极大无环图。
- 任一节点到根的路径唯一。因此path(v,r) = path(r); (v 就是vertex的意思), 因此我们可以通过
- 路劲的长度来衡量书中的一个节点。
- 等价类：长度相同的节点，我们称之为等价类。
简化
路径，节点，子树均可以相互指代，原因是节点到根路径唯一。所以在后面树的遍历中，要明白访问节点和
访问子树的概念是不同的，虽然都是使用同一个节点进行代表
深度: 一个节点的深度就是节点的长度。就是节点到根的路径的长度
半线性: 前驱唯一性得以满足，但后继唯一性不满足。
叶子: 没有后代的节点称为叶子。
树的高度: 一个深度最大的叶子节点的深度称为这颗树的高度。 这一概念可以推给子树的高度。
根节点的高度就是整树的高度。 某个子节点的高度是这个节点作为子树根节点的高度。
具有一个节点的树的高度为0。 没有节点的树，也就是空树的高度为-1。
注意区分一个节点的高度和深度。
节点的深度是节点到根的路径。节点的高度是节点所代表的子树总，具有最大深度最大的某个节点深度
树为什么要这样表示
- 父亲表示法： 向下查询孩子节点的时候，需要遍历整个表，看谁的父亲是这个节点，才能找到孩子节点。
- 孩子表示法： 向上查询父亲的时候，同样需要遍历整个表，看谁的孩子是这个节点，才能找到父亲节点。
- 长子+兄弟法：最能体现树的本质。
二叉树
重要概念
- 真二叉树
- 所有节点的出度均为偶数。将一颗二叉树转化为真二叉树，有模糊概念，需要到具体应用时才能理解。
- 如何使用二叉树来描述多叉树
- 没有错，真的可以。
遍历
先序遍历
递归版本
void preTraverseRecur( BinNode * x, VST visit)
{
if(!x)
return ;
visit(x->data);
preTraverseRecur(x->lchild, visit);
preTraverseRecur(x->rchild, visit);
}
有一个理解错误的概念，就是先序遍历，我们做的是先访问根节点，然后访问左子树，然后访问右子树。
注意这里标记出来的点，我之前理解的概念为访问左孩子这个节点。有什么不一样吗？因为一个节点可以表示
一个节点，同时也可以表示一颗树。（将其视为这颗树的根）。所以我们访问节点，就是访问节点，访问子树
则意味着访问子树内的所有节点。
所以先序遍历的理解是：先访问root节点，然后访问左子树，访问右子树。
迭代版本
版本A
这个代码感觉自己已经背会了，不知道怎么写思路了。
void preTraverseIter(BinNode * x, VST visit)
{
stack<BinNode *> s;
s.push(x); //根节点入栈
while(s.empty())
{
auto ret = s.top(); s.pop();
visit(ret->data);
if(x->rchild) //注意先将右子树入栈
s.push(x->rchild);
if(x->lchild)
s.push(x->lchild);
}
}要点
- 需要开始，因此需要将根节点压入栈，然后右子树进栈，然后左子树进栈，然后新一轮判断。
- 必须先右再左，因为栈是filo。
- 这个感觉其实很奇怪，就是利用栈来模拟整个递归过程。
版本B
void preTraverseIter(BinNode * x, VST visit)
{
stack<BinNode *>tmp;
while(true)
{
visitAlongLC(x, visit, tmp); //有左树，走左树，同时将每个经历的右树入栈
if(tmp.empty())
return ;
x = tmp.top(); //走向最近的右树
tmp.pop();
}
}
void visitAlongLC(BinNode *x, VST visit, stack<BinNode *> &tmp)
{
while(x)
{
visit(x->data);
tmp.push(x->rc);
x = x->lc;
}
}慢慢有点感觉了，就是有左走左，没左就走一步右，然后继续循环。有点绕大圈的感觉是不是。
中序遍历
递归版本
void inTraverseRecur( BinNode * x, VST visit)
{
if(!x)
return ;
preTraverseRecur(x->lchild, visit);
visit(x->data);
preTraverseRecur(x->rchild, visit);
}
迭代版本
void inTraverseIter(BinNode * x, VST visit)
{
stack<BinNode *> S;
while(true)
{
{//goAlongLc
while(x)
{
S.push(x);
x = x->lc;
}
}
if(S.empty())
break;
x = S.top();
S.pop();
visit(x);
x = x->rc;
}
}还是无法具体描述这种感觉，需要仔细和递归版本比较。递归版本来看。就是有左边就一直走左边。
走到左边不能走为止，然后回朔，访问最近的左节点（也就是不能左边空节点的根），然后走向这个节点
的右子树。
后序遍历
递归版本
void postTraverseRecur( BinNode * x, VST visit)
{
if(!x)
return ;
preTraverseRecur(x->lchild, visit);
preTraverseRecur(x->rchild, visit);
visit(x->data);
}
迭代版本
最喜欢的就是迭代版本的后序遍历，因为真的很巧妙。它恰好是先根，再右子树，再左树的倒序输出。
明显就是使用俩个栈就可以实现了。
void postTraverseIter(BinNode * x, VST visit)
{
stack<BinNode * > helper;
stack<BinNode * > output;
helper.push(x);
while(!helper.empty())
{
x = helper.top();
helper.pop();
output.push(x);
if(HasLc(x))
helper.push(x->lc);
if(HasRc(c))
helper.push(x->rc);
}
while(!output.empty())
{
visit(output.top());
output.pop();
}
}注意这里是先压左树再压右树，和先序遍历的方式刚好相反。
层次遍历
层次遍历，自上而下
void levelTraverse(BinNode * x, VST visit)
{
queue<BinNode *> Q;
Q.push(x);
while(!Q.empty())
{
x = Q.front();
Q.pop();
visit(x);
if(HasLc(x))
Q.push(x->lc);
if(HasRc(x))
Q.push(x->rc);
}
}层次遍历，自下而上
哇！这个实现也非常巧妙
void levelReverseTraverse(BinNode * x, VST visit)
{
queue<BinNode *> Q;
stack<BinNode *> S;
Q.push(x);
while(!Q.empty())
{
x = Q.front();
Q.pop();
S.push(x);
if(HasRc(x))
Q.push(x->rc);
if(HasLc(x))
Q.push(x->lc);
}
while(!S.empty())
{
visit(S.top());
S.pop();
}
}根据前序或者后序配合中序还原树
这个代码自己花了3个小时才搞出来。
BinNode * rebuild(vector<int> preorder, vector<int> inorder)
{
return buildHelper(preorder.begin(), preorder.end(), inorder.begin(), inorder.end());
}
using iter = vector<int>::iterator;
BinNode * buildHelper(iter p1, iter p2, iter i1, iter i2)
{
if(p1 >= p2 || i1 >= i2)
return nullptr;
BinNode * root = new BinNode();
root->val = *p1;
auto ret = find(i1, i2, root->val);
int len = ret - i1;
p1++;
root->lc = buildHelper(p1, p1 + len, i1, ret);
root->rc = buildHelper(p1+len, p2, ret + 1, i2);
return root;
}时刻要记得自己是[low, high) 的方式，还是[low, high]的方式在操纵。大部分情况下是[low, high)的方式
因为在c++中的迭代器就是给你这样的方式。
这里可以优化的一个点就是find这里。在leetcode上看到的做法是直接使用散列表。因为preorder和inorder
中的那个数都是相同的，所以讲preorder中的数字映射到inorder中的位置。这样以O(1)的时间得到
同样，使用后序遍历结合中序遍历的情况下也能建树
BinNode * rebuild(vector<int> postorder, vector<int> inorder)
{
return buildHelper(postorder.begin(), postorder.end(), inorder.begin(), inorder.end());
}
using iter = vector<int>::iterator;
BinNode * buildHelper(iter p1, iter p2, iter i1, iter i2)
{
if(p1 >= p2 || i1 >= i2)
return nullptr;
BinNode * root = new BinNode();
root->val = *(p2 - 1);
auto ret = find(i1, i2, root->val);
int len = ret - i1;
root->lc = buildHelper(p1, p1 + len, i1, ret);
root->rc = buildHelper(p1+len, p2 - 1, ret + 1, i2);
return root;
}插入和删除
插入节点
这个其实就是基本功夫的考验。这里主要注意的是我们这次有parent节点。
succ，计算后继节点
如何计算后继节点，首先必须要深深理解中序遍历。所谓后继节点，就是当前节点中序遍历的下一个节点。
BinNode * succ()
{
BinNode * s = this;
if(this->rc) // 如果有右树，就一定在右树之中
{
s = rc;
while(s) s = s->lc;
}
else{ // 如果该节点没有右树
while(s == s->parent->rc) s = s->parent; // 那么该节点一定是最右边的孩子。因此首先需要找到
// 其右树开始的分叉
s = s->parent; // 此时的s一定是在上一节点的左树之中，它的parent
// 就是后继
}
}不是特别特别的明白。但是这里其实也不是那么重要。