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一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
说明： m 和 n 的值均不超过 100。
示例 1:
输入:
[
[0,0,0],
[0,1,0],
[0,0,0]
]
输出: 2
解释:
3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
解题思路
这个问题是之前Leetcode 62：不同路径（最详细的解法！！！） 的一个衍生。仅仅在原来问题的基础之上添加一个判断就可以解决。但是还有一个细节的地方需要注意，我们原先的边界条件是
if row == m - 1 or col == n - 1: return 1
但是这个问题不同，例如这种情况
0 1
1 0
显然，对于(0,1)和(1,0)这两个点来说，我们没有路径到达终点。所以，对于这个问题的边界条件要变成
if row == m - 1 and col == n - 1: return 1
并且，我们要在一开始判断obstacleGrid[-1][-1]是否为0。最终代码为
class Solution:
def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid):
"""
:type obstacleGrid: List[List[int]]
:rtype: int
"""
if not obstacleGrid or obstacleGrid[-1][-1]:
return 0
m, n = len(obstacleGrid), len(obstacleGrid[0])
return self._obstacleGrid(obstacleGrid, m, n, 0, 0)
def _obstacleGrid(self, grid, m, n, row, col):
if row == m - 1 and col == n - 1:
return 1
if row >= m or col >= n or grid[row][col] == 1:
return 0
return self._obstacleGrid(grid, m, n, row + 1, col) + self._obstacleGrid(grid, m, n, row, col + 1)
但是这样做存在着大量的重复运算（在哪呢？）。我们可以通过记忆化搜索的方式来优化上面的问题。我们通常的写法如下
class Solution:
def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid):
"""
:type obstacleGrid: List[List[int]]
:rtype: int
"""
if not obstacleGrid or obstacleGrid[-1][-1]:
return 0
m, n = len(obstacleGrid), len(obstacleGrid[0])
mem = [[None]*n for _ in range(m)]
return self._obstacleGrid(obstacleGrid, m, n, 0, 0, mem)
def _obstacleGrid(self, grid, m, n, row, col, mem):
if row == m - 1 and col == n - 1:
return 1
if row >= m or col >= n or grid[row][col] == 1:
return 0
if row < m and col < n and mem[row][col] != None:
return mem[row][col]
mem[row][col] = self._obstacleGrid(grid, m, n, row + 1, col, mem) + \
self._obstacleGrid(grid, m, n, row, col + 1, mem)
return mem[row][col]
这里的实现上我们要注意一个细节
if row < m and col < n and mem[row][col] != None:
而不是
if row < m and col < n and mem[row][col]:
为什么呢？因为我们的mem中存储了0。另外我们除了通过list实现mem外，还可以通过dict实现。
class Solution:
def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid):
"""
:type obstacleGrid: List[List[int]]
:rtype: int
"""
if not obstacleGrid or obstacleGrid[-1][-1]:
return 0
m, n = len(obstacleGrid), len(obstacleGrid[0])
mem = dict()
return self._obstacleGrid(obstacleGrid, m, n, 0, 0, mem)
def _obstacleGrid(self, grid, m, n, row, col, mem):
tmp = '{}, {}'.format(row, col)
if row == m - 1 and col == n - 1:
return 1
if row >= m or col >= n or grid[row][col] == 1:
return 0
if tmp in mem:
return mem[tmp]
mem[tmp] = self._obstacleGrid(grid, m, n, row + 1, col, mem) + \
self._obstacleGrid(grid, m, n, row, col + 1, mem)
return mem[tmp]
我们同样可以通过迭代的写法，同样也是动态规划的方法求解这个问题。对于x > 1 and y > 1的点来说，它们的路径就是(x-1, y) + (x, y-1)，而对于边界的点来说，路径为(x-1, y) or (x, y-1)。对与1的障碍来说，路径为0，那么我们很容易写出下面的代码
class Solution:
def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid):
"""
:type obstacleGrid: List[List[int]]
:rtype: int
"""
m, n = len(obstacleGrid), len(obstacleGrid[0])
mem = [[0]*n for _ in range(m)]
mem[0][0] = 1
for i in range(m):
for j in range(n):
if obstacleGrid[i][j] == 0:
if j:
mem[i][j] += mem[i][j - 1]
if i:
mem[i][j] += mem[i - 1][j]
else:
mem[i][j] = 0
return mem[m - 1][n - 1]
对于这个问题最好的解法是自底向上找路径，也就是从终点出发寻找起始点。所以我们对上面递归的过程稍加修改即可
class Solution:
def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid):
"""
:type obstacleGrid: List[List[int]]
:rtype: int
"""
m, n = len(obstacleGrid), len(obstacleGrid[0])
if not obstacleGrid or obstacleGrid[0][0]:# modify
return 0
return self._obstacleGrid(obstacleGrid, m - 1, n - 1)
def _obstacleGrid(self, grid, m, n):
if m == 0 and n == 0:
return 1
if m < 0 or n < 0 or grid[m][n] == 1:
return 0
return self._obstacleGrid(grid, m - 1, n) + self._obstacleGrid(grid, m, n - 1)
同样这个问题我们也可以使用记忆化搜索的方式
class Solution:
def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid):
"""
:type obstacleGrid: List[List[int]]
:rtype: int
"""
if not obstacleGrid or obstacleGrid[0][0]:# modify
return 0
m, n = len(obstacleGrid), len(obstacleGrid[0])
mem = [[None]*n for _ in range(m)]
return self._obstacleGrid(obstacleGrid, m, n, m - 1, n - 1, mem)
def _obstacleGrid(self, grid, m, n, row, col, mem):
if row == 0 and col == 0:
return 1
if row < 0 or col < 0 or grid[row][col] == 1:
return 0
if row < m and col < n and mem[row][col] != None:
return mem[row][col]
mem[row][col] = self._obstacleGrid(grid, m, n, row - 1, col, mem) +\
self._obstacleGrid(grid, m, n, row, col - 1, mem)
return mem[row][col]
这里要注意的是上面这个问题实现的细节
if row < 0 or col < 0 or grid[row][col] == 1:
return 0
if row < m and col < n and mem[row][col]:
return mem[row][col]
这两个判断的顺序不能做调整，为什么？因为-1在python中是有意义的，如果调换的话，-1会进入第一个判断中，实际上我们希望返回0，显然同我们希望的不符。同样的我们也可以和前面一样，通过dict去实现
class Solution:
def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid):
"""
:type obstacleGrid: List[List[int]]
:rtype: int
"""
if not obstacleGrid or obstacleGrid[0][0]:# modify
return 0
m, n = len(obstacleGrid), len(obstacleGrid[0])
mem = dict()
return self._obstacleGrid(obstacleGrid, m, n, m - 1, n - 1, mem)
def _obstacleGrid(self, grid, m, n, row, col, mem):
tmp = '{}, {}'.format(row, col)
if tmp in mem:
return mem[tmp]
if row == 0 and col == 0:
return 1
if row < 0 or col < 0 or grid[row][col] == 1:
return 0
mem[tmp] = self._obstacleGrid(grid, m, n, row - 1, col, mem) +\
self._obstacleGrid(grid, m, n, row, col - 1, mem)
return mem[tmp]
同样的，我们也可以通过相同的手法，写出递归的算法
class Solution:
def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid):
"""
:type obstacleGrid: List[List[int]]
:rtype: int
"""
m, n = len(obstacleGrid), len(obstacleGrid[0])
mem = [[0]*n for _ in range(m)]
for i in range(m):
for j in range(n):
if not obstacleGrid[i][j]:
if i or j:
mem[i][j] = mem[i - 1][j] + mem[i][j - 1]
else:
mem[i][j] = 1
return mem[-1][-1]
终于这个问题被我们彻底的解决了。o(￣▽￣)o
我将该问题的其他语言版本添加到了我的GitHub Leetcode
如有问题，希望大家指出！！！