【剑指offer】约瑟夫环问题

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题目描述：: 每年六一儿童节,JOBDU都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为JOBDU的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为1的小朋友开始报数。每次喊到m的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续1...m报数....这样下去....直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到JOBDU名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？

输入：

输入有多组数据。

每组数据一行,包含2个整数n(0<=n<=1,000,000),m(1<=m<=1,000,000),n,m分别表示小朋友的人数(编号1....n-1,n)和HF指定的那个数m(如上文所述)。如果n=0,则结束输入。

输出：: 对应每组数据,输出最后拿到大奖的小朋友编号。

样例输入：

样例输出：

1
3
4

约瑟夫环问题，最简单直观的方法就是用数组或者链表模拟整个游戏的过程，我先是用数组模拟实现了下。

数组模拟实现的代码如下：

[cpp]view plain copy 
     
 
 #include<stdio.h>  
   
 typedef struct Node  
 {  
     int next;   //下一个元素的编号  
     int num;    //编号，从1开始  
 }Node;  
   
 Node arr[1000000];  
   
 int FindLastRemaining(int n,int m)  
 {  
     if(n<1 || m<1)  
         return 0;  
   
     int start = 1;  
     int current = start;  
     int pre = current;  
     while(start != arr[start].next)  
     {  
         //找到待删元素和它的前一个元素  
         int i;  
         for(i=0;i<m-1;i++)  
         {  
             pre = current;  
             current = arr[current].next;  
         }  
           
         //删除元素，重新建立连接  
         arr[pre].next = arr[current].next;  
         start = arr[pre].next;  
         current = start;  
     }  
     return arr[start].num;  
 }  
   
 int main()  
 {  
     int n;  
     while(scanf("%d",&n) != EOF && n != 0)  
     {  
         int m;  
         scanf("%d",&m);  
   
         //将数据连成环  
         int i;  
         for(i=1;i<=n;i++)  
         {  
             arr[i].num = i;  
             if(i == n)  
                 arr[i].next = 1;  
             else  
                 arr[i].next = i+1;  
         }  
   
         printf("%d\n",FindLastRemaining(n,m));  
     }  
     return 0;  
 }  

自己测试了几组数据，都对了，但是在九度OJ上测试，五个测试用例，只通过两个，第二个测试用例WA，后面两个超时了。

超时就不说了，模拟实现的方法，时间复杂度为O(m*n)，数据很大时时间消耗就上来了。但是第二个测试用例报了WA，左看右看还是不知道哪里出了问题，不想继续纠结下去了！看到这篇博文的有心者，有发现问题所在的话，提示下。

无奈这个思路的代码木有AC，即使结果正确，也会超时。只能硬着头皮去研究下书上O(n)的做法，顺着书上面的思路，推了半个多小时，总算勉强搞定了，这样的思路如果事先没个结论在胸中的话，面试现场基本是不可能推导出来的，除非以前就知道并推导过这个数学公式。

关于思路，不说太多了，可以看剑指offer，上面写的还是蛮详细的，最好自己动手推推，这里重点说几点我的理解

1、个人感觉对推到时，最好不要用%来合并两个分段函数，最好p(x)按照x的范围分段，这样比较容易理解，这样p(x)有两段函数，求得的逆函数同样是分段函数。

2、k=(m-1)%n永远指的从0开始删除的第m个元素，也就是编号为m-1的元素，因为每次都会对元素的编号做映射，使每次从新开始报数的元素的编号都映射为从0开始。

3、书中通过找规律得到p(x)=(x-k-1)%n，这个感觉不严谨，因为x-k-有可能出现负的情况，应该写为p(x)=(n+x-k-1)%n，但最终求的的递推公式是一样的，因为这里不会出现超过2倍的情况。

另外，九度上的题目要求的编号是从1开始的，这简单，直接将结果的编号加1即可。

AC代码：

[cpp]view plain copy 
     
 
 #include<stdio.h>  
   
 int LastRemaining(int n,int m)  
 {  
     if(n<1 || m<1)  
         return 0;  
   
     int last = 0;  
     int i;  
     for(i=2;i<=n;i++)  
         last = (last + m)%i;  
     return last;  
 }  
   
 int main()  
 {  
     int n;  
     while(scanf("%d",&n) != EOF && n != 0)  
     {  
         int m;  
         scanf("%d",&m);  
         printf("%d\n",LastRemaining(n,m)+1);  
     }  
     return 0;  
 }  
 
     
   

 
   /************************************************************** 
  

 
   Problem: 1356

 
   User: mmc_maodun

 
   Language: C

 
   Result: Accepted

 
   Time:290 ms

 
   Memory:912 kb

 
   ****************************************************************/ 
  