【数学--约瑟夫环】剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字

题目描述

0,1,···,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字（删除后从下一个数字开始计数）。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。

示例：

输入: n = 5, m = 3
输出: 3

解题思路

这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意，他不知道是哪一个。 —— 【约瑟夫问题】维基百科

首先尝试了直接模拟，考虑到其时间复杂度为$O(n^2)$，且$1<=n<=10^5$，会导致超时。

class Solution {
    
    
public:
	//模拟
    int lastRemaining(int n, int m) {
    
    
        vector<int> vec(n);
        for(int i = 0; i < n; i++){
    
    
            vec[i] = i;
        }
        vector<int>::iterator it = vec.begin();
        int diff = m - 1;
        while(--n){
    
    
            diff = vec.erase(it + diff % (n + 1)) - it + m - 1;
        }
        return vec[0];
    }
};

那么约瑟夫环问题怎么解呢？参考官方的题解，分治递归相对迭代逻辑上更自然一些。

1. 首先，将问题拆解的更小。每一次删除操作后，数列长度减一，对于下一次操作而言，就变为求在新数列下，最后剩下的数；
2. 新数列的起点是上一层数列删除数的下一位；
3. 问题是如何将最底层的答案向上返回。这里就需要数学、逻辑上的推导，依凭数字的下标，建立上下层之间的映射。之所以不返回具体的值，是求不出来。要注意的是，我们是依赖下标定位需要删除的数，也就是说各层的下标关系我们是有的。不是我们刻意选下标作为建立上下层连系的属性，是没得选。
4. 假设下层返回值x，这里的x是拥有新起点的下层数列最后剩下数字的下标。而下层的起点，是上层删除位的下一位，删除位的下标为m % n - 1，因此x映射在上层数列下标即，(m % n + x) % n。

再来看迭代如何实现，下图对应示例，图中数列用数组表示，为了反应环状特点，在加粗黑线后复制拼接一份。

有点倾向于找规律，最底层数组的最终答案为下标0，而上一层相对应的下标可用(ans + m) % i表示，其中ans为下层下标，i为上层数组大小。故i从2一直遍历到题目提供的n。

具体看下方代码。

代码实现

递归：

class Solution {
    
    
public:
    int lastRemaining(int n, int m) {
    
    
        if(n == 1) return 0;
        int x = lastRemaining(n - 1, m);
        return (m % n + x) % n;
    }
};

迭代：

class Solution {
    
    
public:
    int lastRemaining(int n, int m) {
    
    
        int ans = 0;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
    
    
            ans = (ans + m) % i;
        }
        return ans;
    }
};