题目
有12枚硬币，其中有且只有1枚是假币，但不知道是重还是轻。现给定一架没有砝码的天平，问至少需要多少次称量才能确保找到这枚假币？
进一步：如何证明某个方案是最少次数？
思想
对于该问题，最简单的想法是把硬币分成2堆，天平左右各放6个，每堆6枚放到天枰上称量，这样的得到的结果一定是天枰是倾斜的。得不到任何其他信息，反而白白浪费了一次称量机会。因此第一次称量一定是选择一部分去称量，利用均分原理，天枰左边放一部分硬币，右边放一部分硬币，还剩下一部分硬币。从平均情况考虑，三部分中含有假币的概率是相等的。因此，第一次称量中，我们可以将12枚硬币分成3份，每份4枚硬币，记为甲、乙、丙。
取甲、乙放到天枰上称量，一共会出现3种情况：
- 平衡：说明甲乙中都不会含有假币，则假币一定在丙中，记丙中的4枚硬币为A、B、C、D。（依然不能将4枚硬币分成2份！无意义！！）取A、B放到天枰上称量，则又会出现三种不同情况：
- AB平衡：AB不可能为假币，一定在C、D中。
- 取C与A量，若平衡，说明D是假币；若不平衡，说明C是假币。
- A重/B重：A为假或B为假。取甲中任意一枚（真币）与A称量。若平说明B为假币，且假币轻；若依然A重，说明A为假币且假币重；
- AB平衡：AB不可能为假币，一定在C、D中。
- 左倾：说明假币在甲或乙中。分别记甲中四枚硬币为ABCD，乙中四枚硬币为EFGH，丙中四枚硬币为IJKL（都是真币）。取ABE和CDI称量，则会出现
- 若ABE与CDI平衡，则说明他们都是真币。FGH为假币且假币轻。取FG称量：
- 若平衡，说明H为假币；
- 否则FG中谁轻谁是假币。
- 若左倾（即ABE重，CDI轻）。第一次称时，ABCD>EFGH。所以假币在AB中，且假币重；
- A与I在称量一次，若平则B是假币，若A重，则A是假币。
- 若右倾（即ABE轻，CDI重）。第一次称时，ABCD>EFGH。所以假币在CD中，且假币重；
- C与I再称量一次，若平则D是假币，若C重，则C是假币。
- 若ABE与CDI平衡，则说明他们都是真币。FGH为假币且假币轻。取FG称量：
- 右倾：（与左倾情况完全对称）
通过上面的分析可知，无论什么情况，3次称量就可以得出哪个是假币。
那理论上需要的最少次数如何证明呢？这样：
- 一次天枰称量能够得到左倾、右倾、平衡3种情况，如果把一次称量当做是一次编码，则它是3进制编码才能够表示；
- 我们想要用3进制编码表示的是：12枚硬币，且假币的轻重未知。
- 每枚硬币都可能是假币，共12种情况，假币有可能比真币轻，也有可能重，共12*2=24种情况；
- 3n>=24 则n至少为3才可以。
- 所以从信息论的角度讲，3次称量是最小值。
题目2
有16枚硬币，其中有且只有1枚是假币，假币比真币轻。现给定一架没有砝码的天平，问至少需要多少次称量才能确保找到这枚假币？
进一步：如何证明某个方案是最少次数？
思想
目前常见的是问采用分治法需要多少次，需要4次
先将16枚硬币随机分成AB两份，选轻的一边，排除8枚真币
再随机分成两份，依次类推，再称量3次，即可找出较轻的假币。
以上思路分治法类似于二分查找，但没什么技术含量。
接下来介绍更高效的方法。
将16枚硬币随机分成A，5: B，5: C，6
先称量A，B，若AB平衡，那么假币在C中，若A轻或者B轻，则假币在A或者B中
从上面的假币堆可能是6或者5个硬币中随机选4枚，放到天平两端
如果平衡，则硬币在剩余的1个中直接找到，只用了两次称量，或者在剩余的2个中
从上面两枚硬币中再称一次，找出较轻的假币即可
题目3
有8枚硬币，其中有且只有1枚是假币，假币比真币重。现给定一架没有砝码的天平，问至少需要多少次称量才能确保找到这枚假币？2次
分为3，3，2，第一次称量若平衡在另外两枚中，再称一次即可
若不平衡，将重的那三枚分为1，1，1，随机选两个称量一次，若平衡在没称量的哪一个，否则在重的哪一个
理论下界 3的2次 > 8
编码的一些扩展：
假设我们有很多瓶无色的液体（比如瓶数大于100瓶），其中有一瓶是毒药，其它都是蒸馏水，实验的小白鼠喝了以后会在5分钟后死亡，而喝到蒸馏水的小白鼠则一切正常。现在假设只有5只小白鼠，请问一下，我们用这五只小白鼠，5分钟的时间，最多能够检测多少瓶液体的成分？
分析：
这道题的解法非常的巧妙，它使用了二进制来标注每一瓶液体。
第一瓶标号是 00001，
第二瓶标号是 00010，
第三瓶标号是 00011，
.....
第31瓶标号是 11111，
然后，让第一只老鼠喝下第一个位数为1的所有液体，让第二只老鼠喝下第二位为1的所有液体，。。。，让第5只老鼠喝下第五位为1的所有液体，
最后根据所有老鼠的状态从左到右，死了的小白鼠贴上标签1，没死的贴上0，最后得到一个序号，把这个序号换成10进制的数字，就是有毒的那瓶水的编号。
比如：
第二只老鼠和第三只老鼠嗝了， 那么，很明显， 毒药的编号一定是 01100，因为如果毒药的编号是01000，那么第三只老鼠不会死，同理，如果毒药的编号是 01110，那么，应该有三只老鼠会死亡。 如果所有的老鼠都没有死亡，那么毒药一定存在于剩余的其它瓶液体里。所以，通过死亡老鼠的编号，我们可以确认毒药的编号。