概率论经典问题之匹配问题

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匹配问题

问题

一个屋子里面有N个人，每个人有一顶帽子。假如所有人把帽子扔到屋子中央，然后每个人都随机选一顶帽子。
a) 没有人捡到自己帽子的概率；
b) 有$k(k \leqslant N)$个人捡到自己帽子的概率。

解决方法一

问题a

先计算至少有一个人捡到自己帽子的概率。设$E_i,i=1,2,\dots,N$表示事件第i个人捡到了他自己的帽子。现在，根据容斥原理，至少一个人捡到自己帽子的概率$P(\displaystyle\bigcup_{i=1}^NE_i)$就等于：

$$\begin{array}{cl} P(\displaystyle\bigcup_{i=1}^NE_i) = & \displaystyle\sum_{i=1}^NP(E_i)-\sum_{i_1 < i_2}P(E_{i_1}E_{i_2})+\dots\\ & + (-1)^{n+1}\sum_{i_1 < i_2\dots < i_n} P(E_{i_1}E_{i_2}\dots E_{i_n})\\ & + \dots + (-1)^{N+1}P(E_1E_2\dots E_N) \end{array}$$

如果将实验结果看作是一个$N$维数组的话，其中第$i$个元素表示被第$i$个人捡到的帽子的编号，那么有$N!$种可能的结果(例如结果$(1,2,3,\dots,N)$表示所有人都拿到了自己的帽子)。进一步的，$E_{i_1}E_{i_2}\dots E_{i_n}$ 表示事件是$i_1,i_2,\dots,i_n$这$n$个人拿到了自己的帽子，这样的可能有$(N-n)(N-n-1)\cdots3\cdot2\cdot1=(N-n)!$种，因为剩下的$N-n$个人中随便选帽子。总共的可能结果是$N!$种，因此：

$$P(E_{i_1}E_{i_2}\cdots E_{i_n}) = \frac{(N-n)!}{N!}$$
同时，对于 $\displaystyle\sum_{i_1 < i_2 < \cdots < i_n}P(E_{i_1}E_{i_2}\dots E_{i_n})$总共有 $\binom{N}{n}$(即 $C_N^n$)种选法，因此：
$$\displaystyle\sum_{i_1 < i_2 < \cdots < i_n}P(E_{i_1}E_{i_2}\dots E_{i_n})= \frac{N!(N-n)!}{(N-n)!n!N!}=\frac{1}{n!}$$
因此，
$$P(\displaystyle\bigcup_{i=1}^NE_i)=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}-\cdots+(-1)^{N+1}\frac{1}{N!}$$
所以，没有人捡到自己帽子的概率就是：
$$1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^N}{N!}$$
$N$非常大时，此概率为 $e^{-1}\approx.36788$.也就是说， $N$很大时，没有人捡到自己帽子的概率大约是.37，而不是很多人认为的概率会趋向于1当 $N\rightarrow\infty时$

问题b

设$E$表示事件$k$人中每个人都拿到了自己的帽子，$G$表示事件其它的$N-k$个人中没有人拿到自己的帽子。则：

$$P(EG)=P(E)P(G|E)$$
设 $F_i,i=1,\dots,k$，表示事件第 $i$个人拿到了自己的帽子。则：
$$\begin{array}{ccl} P(E) & = & P(F_1F_2\cdots F_k) \\ & = & P(F_1)P(F_2|F_1)P(F_3|F_2F_1)\cdots P(F_k|F_1\cdots F_{k-1})\\ & = & \frac{1}{N} \frac{1}{N-1}\frac{1}{N-2}\cdots \frac{1}{N-k+1}\\ & = & \frac{(N-k)!}{N!} \end{array}$$

已知$k$人中的每个人都捡到了自己的帽子，其它的$N-k$个人将随机的在他们的$N-k$个帽子中选择，因此其它人中没有人捡到自己帽子的概率是：

$$P(G|E) = P_{N-k} = \displaystyle\sum_{i=0}^{N-k}(-1)^i/i!$$
因此，指定的 $k$人捡到自己帽子而其它人没有捡到自己帽子的概率是：
$$P(EG)=\frac{(N-k)!}{N!}P_{N-k}$$
因为选择 $k$人有 $\binom{N}{k}$种方法，因此，要求的概率就是：
$$P(只有k个人捡到自己帽子)=P_{N-k}/k!\approx e^{-1}/k! \quad 当k很大时$$

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解决方法二

问题a

设$E$表示事件没有匹配发生，此事件显然与$n$有关，记为$P_n=P(E)$. 我们从第一个人是否选择到了自己的帽子开始——分别记为$M$和$M^C$。则：

$$P_n=P(E)=P(E|M)P(M)+P(E|M^C)P(M^C)$$
显然， $P(E|M)＝0$，因此
$$P_n=P(E|M^C)\frac{n-1}{n}\quad(1)$$
现在， $P(E|M^C)$剩下 $n-1$个人都没有捡到自己帽子的概率(且其中一人的帽子不在这些帽子中，因为已经被第一个人捡走了)。此事发生可由两种独立事件组成：那个人捡到了第一个人的帽子且其它人都没有捡到自己的帽子，以及那个人捡到了除了第一个人和他自己的帽子以外的一顶帽子，且其它人都没有捡到自己的帽子。前者的概率是 $[1/(n-1)]P_{n-2}$，由此可得：
$$P(E|M^C)=P_{n-1}+\frac{1}{n-1}P_{n-2}$$
因此，由式 $(1)$，可以得到：
$$P_n = \frac{n-1}{n}P_{n-1}+\frac{1}{n}P_{n-2}$$
或者，等价地：
$$P_n-P_{n-1} = -\frac{1}{n}(P_{n-1}-P_{n-2})\quad(2)$$
再由于 $P_n$表示 $n$个人中无匹配的概率，因此：
$$P_1 = 0\quad\quad P_2=\frac{1}{2}$$
由 $(2)$式，得：
$$\begin{array}{lcl} P_3-P_2=-\frac{P_2-P_1}{3}=-\frac{1}{3!} & or & P_3 = \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!} \\ P_4-P_3=-\frac{P_3-P_2}{4}=-\frac{1}{4!} & or & P_4 = \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!} \\ \end{array}$$
由此，一般地，
$$P_n = \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\cdots+\frac{(-1)^n}{n!}$$

问题b

为了计算只有$k$人得到自己帽子的概率，我们考虑一个确定的$k$人组，有且只有此$k$人捡到自己帽子的概率是：

$$\frac{1}{n}\frac{1}{n-1}\cdots\frac{1}{n-(k-1)}P_{n-k}=\frac{(n-k)!}{n!}P_{n-k}$$
其中 $P_{n-l}$表示其它 $n-k$个人没有捡到自己帽子的概率。总共有 $\binom{n}{k}$种选法，因此有且只有 $k$个捡到自己帽子的概率是：
$$\frac{P_{n-k}}{k!}=\frac{\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^{n-k}}{(n-k)!}}{k!}$$