大话数据结构 —— 2.9 算法时间复杂度（合集）

2.9.1 算法时间复杂度定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

        这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。
        一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。
        显然，由此算法时间复杂度的定义可知，我们的三个求和算法的时间复杂度分别为O(n)，O(1)，O(n2)。我们分别给它们取了非官方的名称，O(1)叫常数阶，O(n)叫线性阶，O(n2)叫平方阶，当然，还有其他的一些阶，我们之后会介绍。

2.9.2 推导大O阶方法

那么如何分析一个算法的时间复杂度呢?即如何推导大O阶呢?

用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

得到的最后结果就是大O阶。

2.9.3 常数阶

首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法，也就是刚才的第二种算法，为什么时间复杂度不是O(3)，而是O(1)。

int sum = 0,n = 100;  /*执行一次*/
sum = (1+n)*n/2;   /*执行一次*/
printf("%d", sum);  /*执行一次*/

这个算法的运行次数函数是f(n)=3。根据我们推导大O阶的方法，第一步就是把常数项3改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)。
另外，我们试想一下，如果这个算法当中的语句sum=(1+n)*n/2有10句，即：

int sum=0,n=100;    /* 执行1次 */
sum = (1+n)*n/2;    /* 执行第1次 */
sum = (1+n)*n/2;    /* 执行第2次 */
sum = (1+n)*n/2;    /* 执行第3次 */
sum = (1+n)*n/2;    /* 执行第4次 */
sum = (1+n)*n/2;    /* 执行第5次 */
sum = (1+n)*n/2;    /* 执行第6次 */
sum = (1+n)*n/2;    /* 执行第7次 */
sum = (1+n)*n/2;    /* 执行第8次 */
sum = (1+n)*n/2;    /* 执行第9次 */
sum = (1+n)*n/2;    /* 执行第10次 */
printf("%d",sum);   /* 执行1次 */

       事实上无论n为多少，上面的两段代码就是3次和12次执行的差异，这种与问题的大小无关（n的多少），执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。
        注意，不管这个常数是多少，我们都记作O(1)，而不能是O(3)、O(12)等其他任何数字。这是初学者常常犯的错误。
        对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n的变大而发生变化，所以单纯的分支结构（不包含在循环结构中），其时间复杂度也是O(1)。

2.9.4 线性阶
循环结构就会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。
下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)。因为循环体中的代码须要执行n次。

int i，n=100，sum=0;
for( i=0; i < n; i++)
{
    sum=sum+i;
}

上面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码需要执行n次。其实，线性阶就是一个简单的for循环，条件在i<n，因而时间复杂度为O(n)。

2.9.5 对数阶
那么下面的这段代码，时间复杂度又是多少呢？

int i=1，n=100;
while( i<n )
{
    i=i*2;
}

由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。由2x=n得到x=log2n。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

2.9.6 平方阶
n等于100，也就是说外层循环每执行一次，内层循环就执行100次那总共程序想要从这两个循环出来，需要执行100*100次，也就是n的平方。所以这段代码的时间复杂度为0(n^2)。那如果有三个这样的嵌套循环呢? 没错，那就是n^3。所以我们很容易总结得出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。

例一：下面的例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才2.9.4中分析过，内循环时间复杂度为O(n)。

int i,j;
for(i=0; i<n; i++)
{
    for(j=0; j<n; j++)
    {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O(n²)。

例二：如果外循环的循环次数改为了m，时间复杂度则变为O(m×n)。

int i,j;
for(i=0; i<m; i++)
{
    for(j=0; j<n; j++)
    {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

例三：那么下面这个循环嵌套，它的时间复杂度是多少呢？

int i,j;
for(i=0; i<n; i++)
{
    for(j=i; j<n; j++)   /*  注意j=i而不是0  */
    {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

由于

当i=0时，内循环执行了n次，

当i=1时，执行了n-1次，

…………

当i=n-1时，执行了1次。

n + (n-1) + (n-2) + …… +1 = n(n+1)/2 = n²/2 + n/2

用我们推导大O阶的方法

没有加法常数，不考虑；
只保留最高阶项，因此保留n²/2；
去除这个项相乘的常数，也就是去除1/2。

最终这段代码的时间复杂度为O(n²)。

例四：

int i,j;
for(i=0; i<n; i++)
{
    function(i);
}

void function(int count)
{
    printf( count );
}

函数体是打印这个参数。其实function函数的时间复杂度是O(1)。

所以整体的时间复杂度是O(n)。

例五：

int i,j;
for(i=0; i<n; i++)
{
    function(i);
}

void function(int count)
{
    int j;
    for(j=count; j<n; j++)
    {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

其实这和刚刚的例子是一样的，只是把嵌套内循环放到了函数中，所以最终的时间复杂度还是为O(n²)。

例六：

n++;                /* 执行次数为1 */
function(n);        /* 执行次数为n */
int i,j;
for(i=0; i<n; i++)  /* 执行次数为n² */
{
    function(i);
}

for(i=0; i<n; i++)  /* 执行次数为n(n+1)/2 */
{
    for(j=i; j<n; j++)
    {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

它的执行次数f(n)=1+n+n²+n(n+1)/2=3n²/2+3n/2+1

根据推导大0阶的方法，最终这段代码的时间复杂度也是0(n²)。

大话数据结构 —— 2.9 算法时间复杂度（合集）

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