一、什么是时间复杂度
- 时间复杂度：评价算法的时间开销的一个指标
二、如何计算
- 事后估计：让算法运行一下，看看花费时间；存在问题：和机器性能有关、和编程语言有关、和编译程序产生的机器指令质量有关、有些算法不能事后统计
- 事先估计：事前预估算法时间开销T(n)与问题规模n的关系（T表示time） --即时间复杂度表达式
三、算法例子
void loveYou(int n) // n为问题规模
{
① int i=1; // 爱你的程度
② while(i<=n)
{
③ i++; // 每次+1
④ printf("I Love You %d\n", i);
}
⑤ printf("I Love You More Than %d\n", n);
}
int main()
{
loveYou(3000);
}
解：假设n为3000
- 语句频度：① --1次；② --3001次；③ --3000次；④ --3000次；⑤ --1次
- 耗时：T(3000) = 1 + 3001 + 2*3000 + 1
- 时间开销与问题规模n的关系：T(n) = 3n + 3 = O(n)
四、大O表示法
- 基本概念：大O表示"同阶"，同等数量级。即：当n -> ∞时，二者之比为常数
- 加法规则：T(n) = T₁(n) + T₂(n) = O(f(n)) + O(g(n)) = O(max{f(n), g(n)}) --只保留最高阶，且系数为1
- 乘法规则：T(n) = T₁(n) × T₂(n) = O(f(n)) × O(g(n)) = O(f(n) × g(n))
- 小结：之前求T(n)是一行一行代码数的，当代码很多时不适用。
- 结论1. 顺序执行的代码只会影响常数项，可以忽略
- 结论2. 只需挑循环中的一个基本操作分析它的执行次数与n的关系即可
五、小练习1：指数递增型爱你
void loveYou(int n) // n为问题规模
{
int i=1; // 爱你的程度
while(i<=n)
{
i=i*2; // 每次翻倍
printf("I Love You %d\n", i);
}
printf("I Love You More Than %d\n", n);
}
解：设最深层循环的语句频度（总共循环的次数）为x，则
由循环条件可知，循环结束时刚好满足2^x>n
x = log₂n + 1
T(n) = O(x) = O(log₂n) + O(1) = O(log₂n)
六、小练习2：搜索数字型爱你
void loveYou(int flag[], int n) // n为问题规模
{
printf("I Am Iron Man\n");
for(int i=0; i<n; i++) // 从第一个元素开始查找
{
if(flag[i]==n) // 找到元素n
{
printf("I Love You %d\n", n);
break; // 找到后立即跳出循环
}
}
}
解：
最好情况：元素n在第一个位置 --最好时间复杂度T(n)=O(1)
最坏情况：元素n在最后一个位置 --最坏时间复杂度T(n)=O(n)
平均情况：假设元素n在任意一个位置的概率相同为1/n --平均时间复杂度T(n)=O(n)
循环次数x=(1+2+3+...+n)*1/n=(n(1+n)/2)*1/n=(1+n)/2（期望值） T(n)=O(n)