UVa 11582 Colossal Fibonacci Numbers! (斐波那契循环节 || 快速幂)

题目

题目大意

输入两个非负整数\(a\)、\(b\)和正整数\(n\)(\(0 ≤ a, b ＜ {2}^{64}\), \(1 ≤ n ≤ 100\)), 你的任务是计算\(f({a}^{b})\)除以\(n\)的余数。其中\(f(0) = f(1) = 1\), 且对于所有非负整数\(i\), \(f(i + 2) = f(i + 1) + f(i)\)。

题解

这道题大概就用到了斐波那契循环节(几个月之前我搜的时候还只有两篇博客现在突然多了起来)

所有计算都是对\(n\)取模的, 不妨设\(F(i) = f(i)\ mod\ n\)。不难发现, 根据递推公式, 当二元组\((F(i), F(i + 1))\)出现重复时， 整个序列就开始重复。

因此递推\(F(i)\)直到出现二元组\((1, 1)\)时就会从头开始重复, 此时序列中就已经有\(f({a}^{b})\ mod\ n\)的值了, 而我们只需要像做一些数列找规律的数学题就能够得到答案了, 当然计算\(a^b\)会用到快速幂。

还有一点, 数据范围超过了long long的上限, 需要用unsigned long long, 如果用scanf或printf则需要用到"%llu"(不是"%ull")。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
int Fibonacci[1000010];
int Mod;
int QuickPower(register unsigned long long base,register unsigned long long times,const int &kMod) {
  register unsigned long long ret(1);
  base %= kMod;
  while (times) {
    if (times & 1) ret *= base, ret %= kMod;
    base = base * base % kMod;
    times >>= 1;
  }
  return ret;
}
int main(int argc, char const *argv[]) {
  register int T;
  register unsigned long long a,b;
  scanf("%d", &T);
  while (T--) {
    scanf("%llu %llu %d",&a, &b, &Mod);
    if (Mod == 1 || !a) {
      puts("0");
      continue;
    }
    Fibonacci[0] = Fibonacci[1] = 1;
    register int p(1);
    for (register int i(2); ; ++i) {
      Fibonacci[i] = (Fibonacci[i - 1] + Fibonacci[i - 2]) % Mod;
      if (Fibonacci[i] == 1 && Fibonacci[i - 1] == 1) {
        p = i - 1;
        break;
      }
    }
    printf("%d\n", Fibonacci[QuickPower(a, b, p) - 1]);
  }
  return 0;
}