Python-Matplotlib相关习题及解析

Matplotlib

Exercise 11.1: Plotting a function

Plot the function

$$f(x)=\sin^2(x-2)e^{-x^2}$$ over the interval $[0,2]$. Add proper axis labels, a title, etc.

代码

import numpy as np  
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0,2,30)
y = (np.sin(x-2)**2)*np.exp(-(x**2))
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('$x=f(x)=\sin^2(x-2)e^{-x^2}$')
plt.plot(x,y)
plt.show()

结果

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Exercise 11.2: Data

Create a data matrix $X$ with 20 observations of 10 variables. Generate a vector $b$ with parameters Then
generate the response vector $y = Xb+z$ where $z$ is a vector with standard normally distributed variables.
Now (by only using $y$ and $X$), find an estimator for $b$, by solving

$$\hat{b}=\arg \min \limits_{b} \Vert Xb-y\Vert_2$$ Plot the true parameters $b$ and estimated parameters $\hat{b}$. See Figure 1 for an example plot.

题目分析

• 有一个式子 $$x_1b_1+x_2b_2+\dots +x_{10}b_{10}=y$$ 我们不知道 $b=(b_1,b_2,\dots,b_{10})$ ，但是我们可以通过20组观察值(observations) $x_i=(x_{i1},x_{i2},\dots ,x_{i10}),i=1,2,\dots ,20$ 来推测 $b$ ，且依题意，需要我们使用最小二乘法。
• 但是这道题的意思是，让我们自己先准备一组 $b$ ，然后再自己编20组 $x$ ，然后再创建一组符合高斯分布的 $z=(z_1,z_2,\dots ,z_{10})$ ，通过计算 $$y_i=x_i\cdot b+z_i = x_{i1}b_1+x_{i2}b_2+\dots +x_{i10}b_{10}+z_i$$ 我们就得到了一组 $y=(y_1,y_2,\dots ,y_{10})$
• 现在我们忘记了 $b$ 和 $z$ 是多少，但是20组 $x$ 和 一组$y$ 还在，我们想通过它们找回 $b$ ，即使不能完全一样，差距也不要太大。其实我们可以通过20组 $x$ 和 一组 $y$ 用最小二乘法（题目要求）得到一组 $\hat{b}$ ，且 $\hat{b}$ 和 $b$ 的误差比较小
• 画出 $b$ 和 $\hat{b}$ ，看看差距有多大

解题步骤

1. 创建 $20\times 10$ 的矩阵 $X$ ，代表20组观察值
2. 创建列表 $b$ ，里面的数可以任意取值，这里我们使用随机整数
3. 创建高斯随机数列表 $z$
4. 计算 $y$
5. 利用 scipy 的最小二乘函数 leastsq 计算最小二乘解 $\hat{b}$
6. 对 $b$ 和 $\hat{b}$ 画散点图比较

代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

X = (np.random.random([20,10])-0.5)*2   #生成(20,10)的随机数矩阵，范围在(-1,1)
b = (np.random.random([10])-0.5)*4  #生成(10,)的随机数向量，矩阵相乘会自动变为纵向量
z = np.random.randn(20) #生成(20,)的服从标准正态分布的向量
y = np.dot(X,b)+z   #计算得到(20,)的向量

res = np.linalg.lstsq(X,y)[0]   #计算线性方程组的最小二乘解的基本方法，X和y组成观察值，返回系数向量b

x = range(0,10)
plt.ylim(-2.5,2.5)
plt.xlim(-0.5,9.5)
plt.scatter(x,res,label='Estimated coefficients')
plt.scatter(x,b,marker='x',label=('True coefficients'))
plt.legend()
plt.hlines(0,-0.5,9.5)  #水平分割线
plt.xticks(range(0,10))
plt.plot()

结果

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Exercise 11.3: Histogram and density estimation

Generate a vector $z$ of 10000 observations from your favorite exotic distribution. Then make a plot that
shows a histogram of $z$ (with 25 bins), along with an estimate for the density, using a Gaussian kernel
density estimator (see scipy.stats). See Figure 2 for an example plot.

代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

data = np.random.binomial(100,0.2,10000)
x = np.linspace(0,100,100)

kernel = stats.gaussian_kde(data)
kde = kernel.evaluate(x)

plt.hist(kernel.dataset[0],normed='True',bins=25)
plt.plot(x,kde)
plt.show()

结果