[BZOJ4444] [Luogu 4155] [LOJ 2007] [SCOI2015]国旗计划(倍增)

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题面

题面较长，略

分析

首先套路的断环为链。对于从l到r的环上区间，若l<=r,我们把它断成两个区间\([l,r],[l+M,r+M]\),否则断成\([l,r+M],[l+M,r+M+M]\)(断成\([l+M,2M]\)也可以)

然后定义从区间[l,r]走到另一个与它相交的区间为1“步”。那么我们可以预处理出区间i走j步能够到达的区间右端点的最大值。注意到区间互不包含，先把区间按左端点为第一关键字，右端点为第二关键字排序。对于区间i,我们找到满足\(l_i<l_j \leq r_i\)的最大\(l_j\),那么\(r_j\)就是走1步能到达的最大区间右端点。因为\(l_j>l_i\)，所以\(r_j>r_i\),否则区间j就会被i包含。由于排序过，j显然有单调性，双指针扫一遍就可以了。

    sort(a+1,a+1+sz);
    int ptr=1;
    for(int i=1;i<=sz;i++){
        while(ptr<sz&&a[ptr+1].l<=a[i].r) ptr++;
        if(ptr!=i) anc[i][0]=ptr;
    }

但是枚举走j步依然是\(O(n^2)\)的,可以用倍增优化。\(anc[i][j]\)表示区间i走j步到达的右端点最大的区间编号。这个可以\(O(n \log n)\)预处理。

查询的时候从i开始跳，一直跳到\(r_{anc[i][j]}\geq l_i+M\)为止，需注意边界条件

int query(int x){
    int ans=1;
    int r=a[x].l+len; //注意边界，比如3->5,5->1,1->3.必须要跳回原点3,所以是+len而不是+len-1 
    for(int i=log2n;i>=0;i--){
        if(anc[x][i]!=0&&a[anc[x][i]].r<=r){//如果右端点<=i+M,就继续跳
            ans+=(1<<i); 
            x=anc[x][i];
        }
    }
    if(anc[x][0]&&a[x].r<r){//上面求的是右端点<=i+M,可能跳到了<i+M的某一个位置，再跳一步就超过i+M,这种情况也是合法的。特判一下。
        ans++;
        x=anc[x][0];
    }
    return ans; //保证一定有解，所以不用判断a[x].r是否>=r
}

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring> 
#include<cmath>
#include<algorithm> 
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 2000000
#define maxlogn 25
using namespace std;
int n,len;
struct seg{
    int l;
    int r;
    int id;
    seg(){
        
    }
    seg(int _l,int _r,int _id){
        l=_l;
        r=_r;
        id=_id;
    }
    friend bool operator  < (seg p,seg q){
        if(p.l==q.l) return p.r<q.r;
        else return p.l<q.l;
    }
}a[maxn+5]; 
int sz;
int log2n; 
int ans[maxn+5];
int anc[maxn+5][maxlogn+5];

int query(int x){
    int ans=1;
    int r=a[x].l+len; //注意边界，比如3->5,5->1,1->3.必须要跳回原点3,所以是+len而不是+len-1 
    for(int i=log2n;i>=0;i--){
        if(anc[x][i]!=0&&a[anc[x][i]].r<=r){
            ans+=(1<<i); 
            x=anc[x][i];
        }
    }
    if(anc[x][0]&&a[x].r<r){
        ans++;
        x=anc[x][0];
    }
    return ans; 
}
int main(){
    int l,r;
    scanf("%d %d",&n,&len);
    log2n=log2(n*2);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d %d",&l,&r);
        if(l<=r){
            a[++sz]=seg(l,r,i);
            a[++sz]=seg(l+len,r+len,i+n);
        }else{
            a[++sz]=seg(l,r+len,i);
            a[++sz]=seg(l+len,r+len+len,i+n);
        }
    }
    sort(a+1,a+1+sz);
    int ptr=1;
    for(int i=1;i<=sz;i++){
        while(ptr<sz&&a[ptr+1].l<=a[i].r) ptr++;
        if(ptr!=i) anc[i][0]=ptr;
    }
    for(int j=1;j<=log2n;j++){
        for(int i=1;i<=sz;i++){
            anc[i][j]=anc[anc[i][j-1]][j-1];
        }
    }
    for(int i=1;i<=sz;i++){
        if(a[i].id<=n) ans[a[i].id]=query(i);//注意要跳过(l+n,r+n)，否则l+len会超过2*len导致答案错误 
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",ans[i]);
}