牛客小白月赛7 J 方格填色(矩阵快速幂优化)

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原题地址:https://www.nowcoder.com/acm/contest/190/J

思路:我们可以观察数据范围发现,$n$和$m$的差距特别大.然后$m$最大只有$5$并且我们经过递推可以发现当前列的状态只与前一列有关,所以这题很显然可以用状压$dp$来写.但是$n$又特别大,所以可以考虑使用矩阵快速幂来加快递推.

具体方法是先构造出递推的矩阵,然后讨一个矩阵快速幂的板子,最后直接统计个数就行了.

ac代码:

#include <bits/stdc++.h>
#define eps 1e-8
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI acos(-1)
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,(rt<<1)+1
#define CLR(x,y) memset((x),y,sizeof(x))
#define fuck(x) cerr << #x << "=" << x << endl

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int seed = 131;
const int maxn = 1e5 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
ll n, m, tot;
struct mat {//定义矩阵结构体
    ll m[100][100];
    mat() {
        memset(m, 0, sizeof(m));
    }
};
mat operator * (mat a, mat b) {//定义矩阵乘法
    mat ans;
    ll x = 0;
    for (int i = 0; i < tot; i++) {
        for (int j = 0; j < tot; j++) {
            x = 0;
            for (int k = 0; k < tot; k++) {
                x = (x + a.m[i][k] * b.m[k][j]) % mod;
            }
            ans.m[i][j] = x;
        }
    }
    return ans;
}
mat  init(mat &a) {//初始化单位矩阵
    for (int i = 0; i < tot; i++) {
        a.m[i][i] = 1;
    }
    return a;
}
mat mat_pow(mat a, ll n) {//矩阵快速幂
    mat ans = init(ans);
    while (n) {
        if (n & 1) ans = ans * a;
        a = a * a;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main() {
    scanf("%lld%lld", &n, &m);//n行m列,和题目中定义反的
    mat a;
    tot = 1 << n;
    for (int i = 0; i < tot; i++) {//初始化所要矩阵快速幂的矩阵
        for (int j = 0; j < tot; j++) {
            if (i == 0 && j == 0) continue;//这两个if就是题目的两个限制
            if ((i & j) == 0) a.m[i][j] = 1;
        }
    }
    mat bas, ans;
    bas = mat_pow(a, m - 1);

    for (int i = 0; i < tot; i++) ans.m[0][i] = 1;//初始化第1列,因为第一列所有情况都合法
    ans = ans * bas;
    ll cnt = 0;
    for (int i = 0; i < tot; i++) {//统计结果
        cnt = cnt + ans.m[0][i];
        cnt %= mod;
    }
    printf("%lld\n", cnt);
    return 0;
}