面试题62：圆圈中最后剩下的数字

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 * 面试题62：圆圈中最后剩下的数字

 * 题目：0,1，...n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始每次从这个圆圈里删除第m个数字，求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

 * 例如，0，1，2，3，4这5个数字组成的一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前四个数字依次是2，0，4，1因此最后剩下的数字是3.

 * 思路：首先我们定义一个关于n和m的方程f(n,m)，表示每次在n个数字0，1，...,n-1中每次删除第m个数字最后剩下的数字。

 * 在这n个数字中，第一个被删除的数字是（m-1)%n.

 * 为了简单起见，我们把（m-1)%n记为k，那么删除k之后剩下的n-1个数字为0，1，。。。。k-1，k+1,.....n-1。

 * 并且下一次删除从数字k+1,......n-1,0,1,....k-1。该序列最后剩下的数字也应该是关于n和m的函数。

 * 由于这个序列的规律和前面最初的序列不一样（最初的序列是从0开始的连续序列），因此该函数不同于前面的函数，即为f'(n-1,m)。

 * 最初序列最后剩下的数字f(n,m)一定是删除一个数字之后的序列最后剩下的数字，即f(n,m)=f'(n-1,m).

 * 接下来我么把剩下的这n-1个数字的序列k+1,....n-1，0，1，,,,,,,k-1做一个映射，映射的结果是形成一个从0到n-2的序列

 * k+1      -------->     0

 * k+2      --------->    1

 * ......

 * n-1      ----- ----> n-k-2

 * 0         ------->    n-k-1

 * 1       --------->    n-k

 * .....

 * k-1   --------->    n-k

 * 我们把映射定义为p，则p(x) = (x-k-1)%n。它表示如果映射前的数字是x,那么映射后的数字是（x-k-1)%n.

 * 该映射的逆映射是p-1(x)=(x+k+1)%n.

 * 由于映射之后的序列和最初的序列具有同样的形式，即都是从0开始的连续序列，因此仍然可以用函数f来表示，记为f(n-1,m).

 * 根据我们的映射规则，映射之前的序列中最后剩下的数字f'(n-1,m) = p-1[(n-1,m)] = [f(n-1,m)+k+1]%n ,

 * 把k= (m-1)%n代入f(n,m) = f'(n-1,m) =[f(n-1,m)+m]%n.

 *  经过上面的复杂的分析，我们终于找到一个递归的公示。

 *  要得到n个数字的序列中最后剩下的数字，只需要得到n-1个数字的序列和最后剩下的数字，

 *  并以此类推。当n-1时，也就是序列中开始只有一个数字0，那么很显然最后剩下的数字就是0.我们把这种关系表示为：

 

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public class No62LastRemaining_Solution {

 

    public static void main(String[] args) {

       No62LastRemaining_Solution n = new No62LastRemaining_Solution();

       System.out.println(n.LastRemaining_Solution(5, 3));

    }

 

    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {

       if (n < 1 || m < 1) {

           return -1;

       }

      

       int last = 0;

      

       for (int i = 2; i <= n; i++) {

           last = (last + m) % i;

       }

      

       return last;

    }

}