刚度方程：[F]=[K][D]，其中，[F]为力向量，[K]为刚度矩阵，[D]为位移向量。本文讨论的内容为[D]向量中有些元素已知的情况。
1.1 适用情况
部分位移已知，则位移已知的那些方程就是非齐次边界条件的方程。
1.2 原理
在有限元中有一个原理：如果某个节点在给定方向的位移已知，则在相同节点相同方向的力F并不是已知的。该力可以在求解未知节点位移后确定。
也就是说，在总刚方程[k][d]=[f]方程组的每一个方程中，要么位移d已知f未知，要么f已知位移d未知。
现在考虑非齐次边界条件的情况。对于这种情况，一个或多个指定的位移不为0。为化简起见，在总刚方程中令位移u1=σ, σ是一个已知的位移（即，受约束的自由度）。由此得出：
将上述方程展开，变为方程组形式：
其中，F1x是支撑移动量σ产生的未知反力。因为上述方程中第2个方程和第3个方程右端项为已知节点力F2x和F3x，所以考虑该方程组的第2和第3个方程，将已知σ项移动至方程的右端得出：
重新将上述方程写成矩阵形式，得：
至此，非齐次边界条件消除，总刚方程化简，由于已知节点力F2x和F3x，故可求出u2和u3，进而得出所有位移值。
1.3 C++实现算法
1.3.1 创建位移一维数组pDisp[nTotalDOF]，其中nTotalDOF为自由度总个数，一个自由度编号对应一个位移数组pDisp[]的下标。对于已知位移的那些自由度i，pDisp[i]中存储的是位移值；对于未知位移（已知对应的外力）的那些自由度j，pDisp[j]中存储的是外力荷载值。
1.3.2 创建载荷一维数组pLoadVect[nTotalDOF]用于存储[k][d]=[f]中的向量[f]
1.3.3 由于自由度编号已经完成（详见上一篇文章：一维变带宽存储的半带宽计算C++算法），首先遍历那些受约束自由度i（已知位移），其编号范围从nFreeDOF至nTotalDOF，从pDisp[i]中取出当前已知位移σ，再从总刚矩阵中分别取出第i列的第j行上的元素kji（取出方法为dBuf=GetElementInGK(nTotalDOF,j,i,pDiag,pGK)请看下篇文章讲述），做运算使得向量[f]中的第j行上元素变为fj-kjiσ，存入pLoadVect[j]中。至此，pLoadVect[j]中存放了方程（a）中右边项的（-k1）σ。
1.3.4 程序流程图如下：
1.3.5 程序代码如下
void LoadVectorModify(int nTotalDOF,int nFreeDOF,int *pDiag,double *pGK,double *pDisp,double *pLoadVect) //加载支座位移
//利用“非齐次边界条件下刚度方程的化简”原理，计算刚度方程中位移未知的那些行的化简方程形式：[k][d]=[F-kσ]
//nTotalDOF为总自由度数；nFreeDOF为所有节点未知自由度数总个数；
//pDisp为存储位移分量的一维数组首地址，此处的pDisp已经过LoadVectorAssembly(）函数做了一些修改，里面存了一些载荷值，不是仅仅初始化的！
//pGK为总刚矩阵中的下三角部分一维变带宽存储的一维数组
//一维变带宽存储的辅助数组pDiag中存储的是总刚矩阵中对角元在一维变带宽数组pGK中的下标
//pLoadVect为一维荷载数组，长度为自由度总个数，一个荷载对应一个自由度对于位移已知的元素，存储的是位移值，对于位移未知的元素，存储的是载荷值
{
int i,j;
double dBuf;
for(i=nFreeDOF;i<nTotalDOF;i++) //遍历节点已知自由度总个数
//对于已知位移的那些自由度，其pDisp中对应的“载荷值”其实是已知的位移值！因为有限元中有一个原则：如果某个节点某个方向上的位移已知，则相同节点相同方向上的力必未知！
//所谓受约束自由度，就是位移已知，对应于“刚度法”中是要挪到刚度方程力的那边去的项：kσ
//在受约束自由度范围内搜索，因为从编号nFreeDOF之后的节点自由度编号都是编给受约束自由度的！
{
if(pDisp[i]!=0.0) //当前受约束自由度上受到荷载分量作用，其实是位移不为0的意思！
{
for(j=0;j<nFreeDOF;j++) //遍历未知自由度总个数，对于“非齐次边界条件的刚度方程化简”，每个已知位移的影响kσ都要加到所有未知位移的行上去
//对于位移未知的每一行，都要把已知位移σ的影响挪到刚度方程中力的那边[k][d]=[F-kσ]
{
dBuf=GetElementInGK(nTotalDOF,j,i,pDiag,pGK); //取出总刚矩阵中第j行第i列上的元素值放入dBuf中
//将总自由度数、未知自由度编号j、已知自由度编号i、辅助数组pDiag、一维变带宽数组pGk传入函数
if(dBuf!=0) //总刚矩阵中当前元素dBuf为非0元素,可能在带内，可能在带外
//将刚度方程中位移已知项挪到力的那一边：[k][d]=[F-kσ]
pLoadVect[j]-=dBuf*pDisp[i]; //修改载荷向量
}
}
}
}