平面最近点对问题求解—基于Java语言
1. 问题描述：
本问题来自《编程之美2.11—寻找最近点对》，文中给出了两种解法：暴力解法，分治解法。其中，暴力解法很简单，求出所有点之间的距离并做比较，便可找到距离最小的点对；当然，这不是最优解，时间复杂度为O(n^2)。文中还介绍了分治法，不过，没有给出源代码，网上的解法也多是基于C写的，本文将基于Java用分治法解决这个问题。
2.分治法解法思想
分治法思路：
1) 把它分成两个或多个更小的问题；
2) 分别解决每个小问题；
3) 把各小问题的解答组合起来，即可得到原问题的解答。小问题通常与原问题相似，可以递归地使用分而治之策略来解决。
这里的分治算法的主要思路是将平面上的n个点分为两个子集S1,S2。每个子集中有n/2个点，然后递归的在每个子集中求解最近点对，两边求得的结果如图所示：
那么可以看出左边的最近点对的距离为d1,右边为d2。但是最近对可能一个点在S1中而另一个点在S2中。这样，我们，就要去想办法对其进行合并,然后求得合并区域的最近对距离，假设为d3，那么只需要比较d1,d2,d3的大小关系即可，最小的就是平面最近对的距离。通过分析我们可以知道，如果存在这样的最近对的点，那么这个点在S1集合中，肯定是横坐标最靠近中位线 L 的点，S2中同理。那么这个范围如何划定呢？
设d=min(d1,d2)假定中位线横坐标为X，那么范围就是[X-d,X+d].这个范围是怎么划定的呢？根据平面中点的位置我们就可以知道，两点的距离为横纵坐标之间的差值的平方和。那么如果要存在这样的点，他们之间的横坐标之间的差值的绝对值必须要小于等于d（这里包括这点恰好就在中位线 L 上）。这样可以筛选出横坐标为[X-d,X+d]的区域。如下图所示：
可以看出这个区域中包含三个点，只需要求出这三个点之间的最近点对即可（蛮力法）。这里还需要注意一点，上面是通过横坐标筛选的这个区域，这里可以根据纵坐标将纵坐标差的绝对值大于 d 的坐标剔除。
3. 基于分治法的解法代码
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator;
import java.util.List;
public class MinDis
{
public static void main(String[] args)
{
// 测试用例
Point[] points = new Point[7];
points[0] = new Point(1, 1);
points[1] = new Point(1, 9);
points[2] = new Point(2, 5);
points[3] = new Point(3, 1);
points[4] = new Point(4, 4);
points[5] = new Point(5, 8);
points[6] = new Point(6, 2);
// 预处理，基于x轴坐标排序，便于分治法实施
Arrays.sort(points, new Comparator<Point>()
{
@Override
public int compare(Point p1, Point p2)
{
return (p1.x > p2.x) ? 1 : (p1.x == p2.x) ? 0 : -1;
}
});
// 测试
System.out.println(divide(0, points.length-1, points));
}
/**
* 求平面上距离最近的两个点
*
*/
public static double divide(int left, int right, Point[] points)
{
// 当前最小两点距离，初始值设置为无穷大
double curMinDis = 1e20;
// 如果只有一个点，则不存在最近两点距离，返回无穷大
if (left == right)
{
return curMinDis;
}
// 这里是判断是否为只有两个点，如果只有两个点的话那么直接求解。
if (left + 1 == right)
{
return distance(points[left], points[right]);
}
// 分治法：第一步：分区，并求取左右分区最小两点距离
// 通过右移运算除2，对区域进行合理的划分，使得左右两边保持大致相等个数点
int middle = (left + right) >> 1;
double leftMinDis = divide(left, middle, points);
double rightMinDis = divide(middle, right, points);
curMinDis = (leftMinDis <= rightMinDis) ? leftMinDis : leftMinDis;
// 分治法：第二步：假设距离最近的两点分别在左右分区中
// 关键代码，距离最近的两个点，一个位于左边区域，一个位于右边区域，x轴搜索范围[middle-curMinDis, middle+curMinDis]
// 记录搜索区间内的点的索引，便于进一步计算最小距离
List<Integer> validPointIndex = new ArrayList<>();
for (int i = left; i <= right; i++)
{
if (Math.abs(points[middle].x - points[i].x) <= curMinDis)
{
validPointIndex.add(i);
}
}
// 基于索引，进一步计算区间内最小两点距离
for (int i = 0; i < validPointIndex.size() - 1; i++)
{
for (int j = i + 1; j < validPointIndex.size(); j++)
{
// 如果区间内的两点y轴距离大于curMinDis，则没必要计算了，因为，它们的距离肯定大于curMinDis，
if (Math.abs(points[validPointIndex.get(i)].y
- points[validPointIndex.get(j)].y) > curMinDis)
{
continue;
}
double tempDis = distance(points[validPointIndex.get(i)],
points[validPointIndex.get(j)]);
curMinDis = (tempDis < curMinDis) ? tempDis : curMinDis;
}
}
return curMinDis;
}
/**
* 计算两点间的距离
*/
public static double distance(Point p1, Point p2)
{
return Math.sqrt((p2.y - p1.y) * (p2.y - p1.y) + (p2.x - p1.x) * (p2.x - p1.x));
}
}
/**
* 定义点
*
*/
class Point
{
public int x;
public int y;
Point(int x, int y)
{
this.x = x;
this.y = y;
}
}
特别说明：
本文部分内容摘录自博客：https://blog.csdn.net/Up_junior/article/details/52019943