土地征用题解(兼斜率优化详解)

土地征用题解(兼斜率优化详解)

标签: 动态规划——斜率优化
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这不是以题解为最主要目的的博客谢谢
重点是帮助理解斜率优化

链接题目:洛谷土地征用
这里有\(dp\)的各种优化。。。
这里是\(Flash Hu\)的dp优化博客

前期处理及一些小性质

我们这里直接把土地理解成一些矩形,显然如果一个大矩形可以把另一个小矩形包含住,那个小矩形肯定会被并购掉,可以直接不考虑,就要去掉
那么可以在\(O(nlogn)\)的复杂度内解决掉:

按高度从大到小排序,如果当前的宽度比之前最宽的宽度要小,显然不要;如果要大,就加进需要考虑的矩形数组里,顺便更新宽度最大值

    int L=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(ljl[L].w<ljl[i].w)ljl[++L]=ljl[i];//ljl是定义的矩形的结构体。。。
    n=L;

现在我们得到了一个高度单调递减,宽度单调递增的矩形序列对吧
那么是不是很容易发现一定是把一段下标连续的矩形并购更优
简单证明一下:如果并购不连续,那么中间那个断开的高度一定小于前一段,宽度一定小于后一段,把它并购到这一段不连续的里面不会产生费用,所以这种决策不会更差,只会更优。。。

\(dp\)部分

有前面的那个简单性质,可以考虑\(dp\)
\(dp[i]\)表示买完前i块矩形的最小费用
显然有\(dp\)方程:\(dp[i]=min_{j=2}^i\){\(dp[j-1]+h[j]*w[i]\)}
表示我们把区间\([i,j]\)上的矩形并购了

斜率优化

由来

直接做肯定是\(O(n^2)\)的复杂度
考虑优化
那么假设我们有\(j\)\(k\)两个可能的转移状态,不妨设\(j>k\)
那么假设决策\(j\)比决策\(k\)更优,我们看要满足什么条件
\[ dp[j-1]+h[j]*w[i]<=dp[k-1]+h[k]*w[k] \]合并同类项化简之后会得到
\[ \frac{dp[j-1]-dp[k-1]}{h[j]-h[k]}=>w[i] \]嗯?这个式子怎么这么眼熟?这就是为什么我们叫他斜率优化

实现

是不是只要满足上面那个式子,决策\(j\)就一定优于决策\(k\)
那么我们把\((h[j],dp[j-1])\)看做一个点,那么上面式子的左边可以看做点\(j\)\(k\)的斜率
而由于\(w[i]\)是单调不降的
所以我们的那个斜率要求单调递增(相等的话决策结果一样就不考虑了),并且大于等于\(w[i]\)对吧
这个可以用单调队列来维护
在队尾每次把点\(i\)加入其中,条件是与队尾的点斜率大于队尾与队尾-1的点(维护斜率单调递增)
在队首每次查询,条件是队首的斜率满足要求(大于\(w[i]\)(同样相等不考虑了))
可能讲起来还很抽象,借助代码。。。
\(calc\)是按照上面的“斜率”定义来求斜率的函数
\(k[tl-1]\)表示队列中\(Q[tl-1]\)\(Q[tl]\)的斜率
\(ljl[i].w\)就是\(w[i]\)辣。。。定义一个结构体而已。。。

    int hd=1,tl=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(hd<tl&&k[tl-1]>=calc(i,Q[tl]))--tl;
        k[tl]=calc(i,Q[tl]),Q[++tl]=i;
        while(hd<tl&&k[hd]<ljl[i].w)++hd;
        dp[i]=dp[Q[hd]-1]+ljl[Q[hd]].h*ljl[i].w;
    }

汇总

可能需要结合整个代码和这个题来理解。。。
PS:如果还有不懂评论区留言吧。。。

#include<bits/stdc++.h>
#define lst long long
#define ldb double
#define N 50050
using namespace std;
const int Inf=1e9;
int read()
{
    int s=0,m=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')m=1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return m?-s:s;
}

int n;
ldb k[N];
int Q[N];
lst dp[N];
struct Land{lst h,w;}ljl[N];
bool cmp(const Land &a,const Land &b){return a.h==b.h?a.w>b.w:a.h>b.h;}
ldb calc(int x,int y){return (dp[x-1]-dp[y-1])/(ljl[y].h-ljl[x].h);}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
        ljl[i]=(Land){read(),read()};
    sort(ljl+1,ljl+n+1,cmp);
    int L=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(ljl[L].w<ljl[i].w)ljl[++L]=ljl[i];
    n=L;int hd=1,tl=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(hd<tl&&k[tl-1]>=calc(i,Q[tl]))--tl;
        k[tl]=calc(i,Q[tl]),Q[++tl]=i;
        while(hd<tl&&k[hd]<ljl[i].w)++hd;
        dp[i]=dp[Q[hd]-1]+ljl[Q[hd]].h*ljl[i].w;
    }printf("%lld\n",dp[n]);
    return 0;
}

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转载自www.cnblogs.com/cjoierljl/p/9693156.html