【矩阵计算】矩阵乘法其一：基础符号和算法

矩阵符号

如果用 $表示所有实数的集合，那么我们用表示所有的实数矩阵组成的向量空间，即：$

其中，大写字母（如 $）表示矩阵，带下标的小写字母（如）表示矩阵中的元素。除了用表示矩阵中第行第列的元素之外，也可以用和表示。$

矩阵操作

矩阵转置（transposition）:

矩阵加法（addition）:

标量-矩阵乘法（scalar-matrix multiplication）:

矩阵-矩阵乘法（matrix-matrix multiplication）:

矩阵点乘（pointwise multiplication）:

矩阵点除（pointwise division）:
$注意，要使矩阵点除有意义，则分母矩阵中不能有值为0的元素。$

向量符号

我们用 $表示所有长度为的实数向量组成的向量空间，即：$

其中，粗体小写字母（如 $）表示向量，带下标的小写字母（如）表示向量中的元素。除了用表示向量中第个元素之外，也可以用和表示。$

我们用 $表示列向量，用表示行向量，即：$

向量操作

向量加法（vector addition）:

标量-向量乘法（scalar-vector multiplication）:

内积/点积（inner/dot product）:

向量点乘（pointwise multiplication）:

向量点除（pointwise division）:
$注意，要使向量点除有意义，则分母向量中不能有值为0的元素。$

Saxpy算法

“Saxpy”是“scalar a x plus y”的助记符，表示用 $的值更新的值。Saxpy算法用公式表示为：注意这里的“ ”不是相等符号，而是赋值符号。$

Gaxpy算法

如果把Saxpy算法中的标量换成矩阵，那么我们就能得到广义（generalized）Saxpy算法，即Gaxpy算法：
$其中，，并且。$

我们可以用两层for循环实现Gaxpy算法：

  for i=1:m
    for j=1:n
      y(i)=y(i)+A(i,j)x(j)
    end
  end

在这段代码中，外层的for循环遍历矩阵的每一行，内层的for循环遍历矩阵的每一列，像这样一行一行地遍历矩阵的Gaxpy算法也称为面向行的（row-oriented）Gaxpy算法。

当然，我们也可以一列一列地遍历矩阵，这样就有了面向列的（column-oriented）Gaxpy算法：

  for j=1:n
    for i=1:m
      y(i)=y(i)+A(i,j)x(j)
    end
  end

外积

不同于向量 $和的内积，向量和的外积表示如下：其中，，并且。$

和Gaxpy算法类似，外积也有面向行的外积：

  for i=1:m
    for j=1:n
      A(i,j)=A(i,j)+x(i)y(j)
    end
  end

和面向列的外积：

  for j=1:n
    for i=1:m
      A(i,j)=A(i,j)+x(i)y(j)
    end
  end

矩阵分割和冒号符号

一个 $的矩阵可以看作是个长度为的行向量组成的：同理，一个的矩阵也可以看作是个长度为的列向量组成的：$

我们可以用 $表示矩阵的第个行向量（第行）：也可以用表示矩阵的第个列向量（第列）：$

在此基础上，我们可以重写面向行的Gaxpy算法：

  for i=1:m
    y(i)=y(i)+A(i,:)x
  end

可以看出，面向行的Gaxpy算法实际上是 $个内积操作加个标量加法操作$ 。

我们接着重写面向列的Gaxpy算法：

  for j=1:n
    y=y+x(j)A(:,j)
  end

可以看出，面向列的Gaxpy算法实际上是 $个标量-向量乘法操作加个向量加法操作$ 。

对于外积，我们先重写面向行的外积：

  for i=1:m
    A(i,:)=A(i,:)+x(i)y
  end

可以看出，面向行的外积实际上是 $个标量-向量乘法操作加个行向量加法操作$ 。

我们接着重写面向列的外积：

  for j=1:n
    A(:,j)=A(:,j)+y(j)x
  end

可以看出，面向列的外积实际上是 $个标量-向量乘法操作加个列向量加法操作$ 。

矩阵-矩阵乘法

我们把矩阵-矩阵乘法写成用 $更新的形式，即：其中，，并且。$

我们把矩阵-矩阵乘法用三层for循环展开得到：

  for i=1:m
    for j=1:n
      for k=1:r
        C(i,j)=C(i,j)+A(i,k)B(k,j)
      end
    end
  end

可以看出，矩阵-矩阵乘法实际上是 $个标量乘法操作加个标量加法操作$ 。

如果我们只展开外面两层for循环，则有：

  for i=1:m
    for j=1:n
      C(i,j)=C(i,j)+A(i,:)B(:,j)
    end
  end

可以看出，矩阵-矩阵乘法实际上是 $个内积操作加个标量加法操作$ 。

如果我们只展开最外层的for循环，则有：

  for i=1:m
    C(i,:)=C(i,:)+A(i,:)B
  end

可以看出，矩阵-矩阵乘法实际上是 $个向量-矩阵乘法操作加个向量加法操作$ 。

虽然改变三层for循环的前后顺序并不影响矩阵-矩阵乘法的结果，但是可以方便我们从不同角度理解矩阵-矩阵乘法。这里只列出了结果，具体过程可以参考上述方法。

循环顺序	两层循环	一层循环	两层循环对应的数据访问方式
i j k	内积	向量-矩阵乘法	从A取行，从B取列
j i k	内积	矩阵-向量乘法	从A取行，从B取列
i k j	Saxpy	面向行的Gaxpy	从B取行，从C取行
j k i	Saxpy	面向列的Gaxpy	从A取列，从C取列
k i j	Saxpy	面向行的外积	从B取行，从C取行
k j i	Saxpy	面向列的外积	从A取列，从C取列