矩阵的乘法口诀（一）

还记得小学时背过的“九九乘法表”吗？那是刚刚学习乘法的小学生的一道难关。我们小时候用过的铁制文具盒盖子里面就印着“乘法表”，像一个上三角形矩阵。

有一个笑话：上小学二年级的明明回家告诉妈妈：“今天数学考试有一道题问 $3\times 7=?$ ，我不会做。快下课时我不管三七二十一，写了个28上去！”这个笑话说明光会背公式是没有用的！

言归正传。大一的同学学习矩阵的乘法是也会觉得挺抽象的。所以，今天我们就来聊聊“矩阵乘法”这点事儿！

符号

$A$ 为 $n$ 阶方阵.
$e_i=(0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)^T$ , 其中第 $i$ 个分量等于 $1$ .
$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$ .
小写希腊字母如 $\alpha$ 常常表示 $n$ 维列向量，而 $\alpha^T$ 则表示 $n$ 维行向量.
$row_i$ 指矩阵 $A$ 的第 $i$ 行， $col_i$ 指矩阵 $A$ 的第 $i$ 列.
我们仅考虑实数域。

###乘法口诀

矩阵 $AB$ 来相乘，左右首先要分清；

$乘法没有消去律，左右因子不能去;$

$矩阵乘法真有趣，且听我来说详细:$

$行乘以列得实数，效果等于做内积;$

$非零列乘非零行，积乃方^T阵秩为1；$

$A$ 左乘以列向量，等于 $A$ 列作组合；

$A$ 乘 $e_i$ 很容易，直将 $i$ 列来提取；

行向量左乘以 $A$ ，等于 $A$ 行作组合；

$e_i$ 转置把 $A$ 乘， $i$ 行取出便为积；

初等矩阵左右乘，行列变换显神奇。

注释及应用

行乘以列得实数，效果等于做内积;
非零列乘非零行，积乃方阵秩为1.
解释：
- $\alpha^T\beta$ 是一个实数. 且 $\alpha^T\beta =\beta^T\alpha$ .
- $\alpha\beta^T$ 是一个方阵。当 $\alpha\ne 0, \beta\ne0$ 时， $\alpha\beta^T$ 是一个秩等于1的方阵.
- $tr(\alpha\beta^T)=\alpha^T\beta$ .这里 $tr(\alpha\beta^T)$ 表示方阵 $\alpha\beta^T$ 的迹，就是它的主对角元的和.

例1 设
$\alpha=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}, \beta^T=(2\quad 1\quad 2),A=\alpha\beta^T,$ 计算： $A^n.$

解： $A^n=\alpha\beta^T\alpha\beta^T\cdots\alpha\beta^T\alpha\beta^T=\alpha(\beta^T\alpha) \cdots(\beta^T\alpha)\beta^T =\alpha(\beta^T\alpha)^{n-1}\beta^T=(\beta^T\alpha)^{n-1}\alpha\beta^T=(\beta^T\alpha)^{n-1}A$
因为
$\beta^T\alpha=1\times2+2\times1+3\times2=10,$ 所以，
$A^n=10^{n-1}A,$
其中，
$A=\begin{pmatrix}2&1&2\\4&2&4\\6&3&6\end{pmatrix}.$

$A$ 左乘以列向量，等于 $A$ 列作组合；
$A$ 乘 $e_i$ 很容易，直将 $i$ 列来提取；
解释：

$(1)\quad A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=x_1col_1+x_2col_2+\cdots+x_ncol_n.$

$(2)\quad A\begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}=col_i.$

例2 计算：

$（1）\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix};$

$（2）\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix};$

$（3）\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix};$

$（4）\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}$

解：（1）由公式（1），

$\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\5\\4\end{pmatrix}.$

(2) 由公式（1），

$\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\6\\2\end{pmatrix}.$

(3) 由公式（2），

$\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}.$

(4) 由（1）-（3）题，用左边的矩阵每次乘以右边矩阵的一列，得，

$\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-1&4\\0&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&2&1\\5&6&4\\4&2&2\end{pmatrix}.$

结束的话

掌握了上面的计算矩阵乘法的方法，一次算一列，是不是感觉特棒？

(未完待续)

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