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历届试题 矩阵翻硬币
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问题描述
小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。
随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。
对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。
其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。
当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。
小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。
聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。
输入格式
输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。
输出格式
输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。
样例输入
2 3
样例输出
1
数据规模和约定
对于10%的数据，n、m <= 10^3；
对于20%的数据，n、m <= 10^7；
对于40%的数据，n、m <= 10^15；
对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。
思路：
模拟一遍可以发现结果是求被翻了奇数次的硬币数。奇数=奇数*奇数。最终反面朝上的硬币为翻转奇数次的行与翻转奇数次的列的交点。所以答案就是翻转奇数次的行数*翻转奇数次的列数。很容易发现第n行的翻转次数=n的因子数。而因子一般都是成对出现的，只有平方数会出现奇数个因子。所以如果行数为平方数，就会被翻奇数次。判断一个数之前有多少个平方数直接开方取整即可。
这里用到了大数开方。java没有专门的方法，可以用二分进行开方。
代码：
import java.util.*;
import java.math.*;
public class Main {
// 大数开方
static BigInteger Bigsqrt(BigInteger x) {
BigInteger l = BigInteger.ONE;
BigInteger r = x;
BigInteger temp = BigInteger.ZERO;
while (!l.equals(r)) {
BigInteger mid = (l.add(r)).divide(BigInteger.valueOf(2));
if (temp.compareTo(BigInteger.ZERO) != 0 && temp.compareTo(mid) == 0) break;
else temp = mid;
if (temp.compareTo(BigInteger.ZERO) == 0) temp = mid;
if (mid.multiply(mid).compareTo(x) == 1) r = mid;
else l = mid;
}
if (l.multiply(l).compareTo(x) == 1)
l = l.subtract(BigInteger.ONE);
return l;
}
public static void main(String[] args) {
Scanner cin = new Scanner(System.in);
BigInteger n = cin.nextBigInteger();
BigInteger m = cin.nextBigInteger();
System.out.println(Bigsqrt(n).multiply(Bigsqrt(m)));
}
}