洛谷 P4726 【模板】多项式指数函数

题目描述

给出 $n-1$ 次多项式 $A(x)$ ，求一个 $\bmod{\:x^n}$ 下的多项式 $B(x)$ ，满足 $B(x)≡e^{A(x)}$ .

输入输出格式

输入格式：
第一行一个整数 $n$ .

下一行有 $n$ 个整数，依次表示多项式的系数 $a_0, a_1, \cdots, a_{n-1}$ .

保证 $a_0=0$ .

输出格式：
输出 $n$ 个整数，表示答案多项式中的系数 $a_0, a_1, \cdots, a_{n-1}$ .

输入输出样例

输入样例#1：
6
0 927384623 817976920 427326948 149643566 610586717
输出样例#1：
1 927384623 878326372 3882 273455637 998233543
说明

对于 $100\%$ 的数据， $n≤10^5$ .

分析：
使用牛顿迭代，设 $G(x)$ 为在 $\bmod{\:x^n}$ 意义下的多项式， $G'(x)$ 为在 $\bmod{\:x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}}$ 意义下的多项式，有
$G(x)=G'(x)(F(x)-ln(G'(X))+1)$
递归求即可， $n$ 要在递归前开两倍。

代码：

// luogu-judger-enable-o2
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long

const int maxn=7e5+7;
const LL mod=998244353;
const LL G=3;

using namespace std;

int n,len,r[maxn];
LL f[maxn],g[maxn],h[maxn],s[maxn],inv[maxn],w[maxn],a[maxn],b[maxn],c[maxn];

LL power(LL x,LL y)
{
    if (y==1) return x;
    LL c=power(x,y/2);
    c=(c*c)%mod;
    if (y%2) c=(c*x)%mod;
    return c;
}

void ntt(LL *a,int f)
{
    for (int i=0;i<len;i++)
    {
        if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    }
    w[0]=1;
    for (int i=2;i<=len;i*=2)
    {
        LL wn;
        if (f==1) wn=power(G,(LL)(mod-1)/i);
             else wn=power(G,(LL)(mod-1)-(mod-1)/i);
        for (int j=i/2;j>=0;j-=2) w[j]=w[j/2];
        for (int j=1;j<i/2;j+=2) w[j]=(w[j-1]*wn)%mod;
        for (int j=0;j<len;j+=i)
        {
            for (int k=0;k<i/2;k++)
            {
                LL u=a[j+k],v=a[j+k+i/2]*w[k]%mod;
                a[j+k]=(u+v)%mod;
                a[j+k+i/2]=(u+mod-v)%mod;
            }
        }
    }
    if (f==-1)
    {
        LL inv=power(len,mod-2);
        for (int i=0;i<len;i++) a[i]=a[i]*inv%mod;
    }
}

void NTT(LL *x,LL *y,LL *z,int n,int m)
{
    len=1;
    int k=0;
    while (len<=(n+m)) len*=2,k++;
    for (int i=0;i<len;i++)
    {
        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
    }
    for (int i=0;i<len;i++)
    {
        if (i<n) a[i]=x[i]; else a[i]=0;
        if (i<m) b[i]=y[i]; else b[i]=0;
    }
    ntt(a,1); ntt(b,1);
    for (int i=0;i<len;i++) z[i]=(a[i]*b[i])%mod;
    ntt(z,-1);
}

void getinv(LL *f,LL *g,int deg)
{
    if (deg==1)
    {
        g[0]=power(f[0],mod-2);
        return;
    }
    int d=(deg+1)/2;
    getinv(f,g,d);
    NTT(f,g,c,deg,d);
    c[0]=(2+mod-c[0])%mod;
    for (int i=1;i<deg;i++) c[i]=(mod-c[i])%mod;
    NTT(c,g,g,deg,d);
    for (int i=deg;i<len;i++) g[i]=0;
}

void tran(LL *a,LL *b,int deg)
{
    for (int i=1;i<deg;i++) 
      b[i-1]=(i*a[i])%mod;
    b[n-1]=0;
}

void intran(LL *a,LL *b,int deg)
{
    for (int i=1;i<deg;i++) b[i]=a[i-1]*power(i,mod-2)%mod;
    b[0]=0;
}

void ln(LL *f,LL *g,int n)
{
    getinv(f,inv,n);
    tran(f,f,n);
    NTT(f,inv,f,n,n);
    intran(f,g,n);
}

void solve(LL *f,LL *g,int deg)
{
    if (deg==1)
    {
        g[0]=1;				
        return;
    }
    int mid=(deg+1)/2;
    solve(f,g,mid);
    for (int i=0;i<mid;i++) s[i]=g[i];
    ln(s,h,mid);
    h[0]=(f[0]+1+mod-h[0])%mod;
    for (int i=1;i<mid;i++) h[i]=(f[i]+mod-h[i])%mod;
    NTT(h,g,g,mid,mid);
    for (int i=deg;i<len;i++) g[i]=h[i]=0;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=0;i<n;i++) scanf("%lld",&f[i]);		
    solve(f,g,n<<1);
    for (int i=0;i<n;i++) printf("%lld ",g[i]);
}

洛谷 P4726 【模板】多项式指数函数

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