LINK：多项式 exp
做多项式的题 简直在嗑药。
前置只是 泰勒展开
这个东西用于 对于一个函数f(x) 我们不好得到 其在x处的取值。
所以另外设一个函数g(x) 来在x点处无限逼近f(x).
具体的 \(f(x) ≈ g(x)=g(0)+\frac{f^1(0)}{1!}x+\frac{f^2(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^n(0)}{n!}x^n\)
牛顿迭代：
常用来求一个函数的零点：假设我们已经求得一个近似值x0 那么我们只需要过(x0,f(x0))这个点做函数图像的切线 取切线与x轴的交点作为新的x0.
迭代几次就可以比较精确。
如：现在要求一个函数f(x) 近似值为x0 y=f'(x0)(x-x0)+f(x0);
y=0时 \(x=x0-\frac{f(x0)}{f'(x0)}\)
当然也可以放到多项式上 现在要求一个G(x) 我们想要求出F(G(x))=0的零点G(x).
\(G(x)=G0(x)-\frac{F(G0(x))}{F'(G0(x))}\)
本质上每迭代一次都可以迅速逼近真实值。
如果\(F(G0(x))≡0(\bmod x^{2n})\)那么\(F(G(x))\equiv 0(\bmod{x^{n}})\)
关于这道题的推导过程：
\(B(x)\equiv e^{A(x)}(\bmod x^n)\)
\(InB(x)-A(x)\equiv 0(\bmod x^n)\)
现在设一个函数\(F(G(x))=InG(x)-A(x)\equiv 0\)
其实在求F这个函数的零点.
两边直接求导可得 \((F(G0(x)))'=\frac{G'0(x)}{G0(x)}\)
带入牛顿迭代的式子里。
\(G(x)=\frac{G0(x)(1-InG0(x)+A(x))}{G'0(x)}\)
每次迭代需要 求逆 做多项式In 再来一遍多项式乘法即可。
废什么话 码!