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题意:
有n个节点,每个节点有两种状态:选中和未选中。
每个选中的点后面都跟着若干个(可能是0个)未选中的点。
每个未选中的点都一定跟在某个选中的点后面。
每次操作随机选择两个被选中的点,随机将其中一个变成未选中,且跟在另一个后面,同时将跟在他后面的节点全部改为选中。
求这样操作下去,直到最后只剩一个选中的点的期望步数。
分析:
非常有趣的一道数论题:
设一个点后面跟着k个被选中的点,设其的势能函数为:
这样一来,目标状态的势能函数值就是
这样定义势能函数的优点是:
对每一次操作,计算它的势能函数期望变化量,惊人地发现:
设第一个点后有
个节点,另一个后有
个节点
也就是说,势能函数的期望变化量为1,那么整个的期望步数就是目标状态的势能函数,减去当前状态的势能函数。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 510
#define MOD 1000000007
using namespace std;
int bit[MAXN];
int u,cnt[MAXN],n;
int main(){
SF("%d",&n);
bit[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
bit[i]=(bit[i-1]<<1)%MOD;
for(int i=1;i<=n;i++){
SF("%d",&u);
if(u!=-1)
cnt[u]++;
}
int ans=bit[n-1]-1;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans=(ans-(bit[cnt[i]]-1))%MOD;
}
PF("%d",(ans+MOD)%MOD);
}